解三角形中的结构不良问题 解析版

2023-11-13 · U1 上传 · 22页 · 616.9 K

解三角形中的结构不良问题知识点梳理一、“结构不良问题”的解题策略(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的,无论选择哪个条件,都可解答题目;(2)在选择的三个条件中,并没有哪个条件让解答过程比较繁杂,只要推理严谨、过程规范,都会得满分,但计算要细心、准确,避免出现低级错误导致失分.二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;(3)以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.三、“边化角”或“角化边”的变换策略(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;(2)若式子中含有a、b、c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.题型精讲精练1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2bcosC=2a-c(1)求角B;16π(2)在①△ABC的外接圆的面积为,②△ABC的周长为12,③b=4,这三个条件中任选一个,求3△ABC的面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【分析】(1)由已知,根据给的2bcosC=2a-c,先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系,然后再利用sinA=sin(B+C),把sinA换掉,展开和差公式合并同类项,然后根据角B的取值范围,即可完成求解;(2)由已知,根据第(1)问计算出的角B,若选①,现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R,然后根据角B利用正弦定理计算出边长b,然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值,即可完成面积最值得求解;若选②,利用a+b+c=12,表示出三边关系,利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值,然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系,从而求解出面积的最值;若选③,可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值,即可完成面积最值得求解.【详解】(1)∵2bcosC=2a-c∴2sinBcosC=2sinA-sinC·1·∴2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,∴2cosBsinC=sinC1∵C∈0,π∴sinC≠0∴cosB=2π∵B∈0,π,∴B=3(2)若选①,设△ABC的外接圆半径为R,1624则π=π⋅R,∴R=3343∴b=2RsinB=2××=432由余弦定理,得:b2=a2+c2-2accosB即16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时,等号成立.即△ABC的面积的最大值为43若选②∵a+b+c=12,∴b=12-(a+c)由余弦定理b2=a+c2-2accosB,[12-(a+c)]2=a2+c2-aca+c2ac=8(a+c)-48,又≥ac2a+c2∴-8(a+c)+48≥02∴a+c≥24(舍)或a+c≤8,当且仅当a=c时等号成立133a+c2∴S=acsinB=ac≤⋅=43,当且仅当a=c时等号成立2442若选③,由余弦定理,得:b2=a2+c2-2accosB即16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时,等号成立.113∴S=acsinB≤×16×=43即△ABC的面积的最大值为43△ABC222【题型训练1-刷真题】一、解答题π1(2023·北京·统考高考真题)设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφω>0,|φ|<.23(1)若f(0)=-,求φ的值.2π2π2π(2)已知f(x)在区间-,上单调递增,f=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择333一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.π条件①:f=2;3π条件②:f-=-1;3ππ条件③:f(x)在区间-,-上单调递减.23注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.π【答案】(1)φ=-.3π(2)条件①不能使函数f(x)存在;条件②或条件③可解得ω=1,φ=-.6·2·π【分析】(1)把x=0代入f(x)的解析式求出sinφ,再由|φ|<即可求出φ的值;2π2π(2)若选条件①不合题意;若选条件②,先把f(x)的解析式化简,根据f(x)在-,上的单调性及函33ππ数的最值可求出T,从而求出ω的值;把ω的值代入f(x)的解析式,由f-=-1和|φ|<即可求出32πφ的值;若选条件③:由f(x)的单调性可知f(x)在x=-处取得最小值-1,则与条件②所给的条件一3样,解法与条件②相同.π【详解】(1)因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|<23所以f(0)=sinω⋅0cosφ+cosω⋅0sinφ=sinφ=-,2ππ因为|φ|<,所以φ=-.23π(2)因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|<,2π所以f(x)=sinωx+φ,ω>0,|φ|<,所以f(x)的最大值为1,最小值为-1.2π若选条件①:因为f(x)=sinωx+φ的最大值为1,最小值为-1,所以f=2无解,故条件①不能使3函数f(x)存在;π2π2ππ若选条件②:因为f(x)在-,上单调递增,且f=1,f-=-13333T2ππ2π所以=--=π,所以T=2π,ω==1,233T所以f(x)=sinx+φ,ππ又因为f-=-1,所以sin-+φ=-1,33ππ所以-+φ=-+2kπ,k∈Z,32πππ所以φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=-.626π所以ω=1,φ=-;6π2πππ若选条件③:因为f(x)在-,上单调递增,在-,-上单调递减,3323ππ所以f(x)在x=-处取得最小值-1,即f-=-1.33以下与条件②相同.2π2(2021·北京·统考高考真题)在△ABC中,c=2bcosB,C=.3(1)求∠B;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,求BC边上中线的长.条件①:c=2b;条件②:△ABC的周长为4+23;33条件③:△ABC的面积为;4π【答案】(1);(2)答案不唯一,具体见解析.6【分析】(1)由正弦定理化边为角即可求解;·3·(2)若选择①:由正弦定理求解可得不存在;若选择②:由正弦定理结合周长可求得外接圆半径,即可得出各边,再由余弦定理可求;若选择③:由面积公式可求各边长,再由余弦定理可求.【详解】(1)∵c=2bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,2π32ππ2π∴sin2B=sin=,∵C=,∴B∈0,,2B∈0,,32333ππ∴2B=,解得B=;363csinC2(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得===3,bsinB12与c=2b矛盾,故这样的△ABC不存在;π若选择②:由(1)可得A=,6设△ABC的外接圆半径为R,π则由正弦定理可得a=b=2Rsin=R,62πc=2Rsin=3R,3则周长a+b+c=2R+3R=4+23,解得R=2,则a=2,c=23,由余弦定理可得BC边上的中线的长度为:232+12-2×23×1×cosπ=7;6π112333若选择③:由(1)可得A=,即a=b,则S=absinC=a×=,解得a=3,6△ABC2224则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为:2221b+a-2×b×a×cos2π=3+3+3×3=.223422【题型训练2-刷模拟】一、解答题3(2023·四川·校联考模拟预测)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.在下列三个322条件①m=sinA,-,n=2cos2A,2cosA,且m⎳n;②asinB=3bcosA;③cosB+cosC=2cos2A+1-sinBsinC中任选一个,回答下列问题.(1)求A;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.π【答案】(1)A=3(2)3【分析】(1)条件①:根据向量平行的坐标表示转化sin2A=-3cos2A,求得A;条件②:根据正弦定理转化为sinA=3cosA,求得A;条件③:将条件中的余弦转化为正弦,再用正弦定理与余弦定理求得A.(2)根据余弦定理及基本不等式求得△ABC面积的最大值.3【详解】(1)选择条件①,因为m=sinA,-,n=2cos2A,2cosA,且m∥n,23所以sinA⋅2cosA+×2cos2A=0,2·4·即sin2A=-3cos2A,所以tan2A=-3,π由△ABC为锐角三角形可知0

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