解三角形中的结构不良问题 解析版

解三角形中的结构不良问题知识点梳理一、“结构不良问题”的解题策略(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；(2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；(3)以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、“边化角”或“角化边”的变换策略(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．题型精讲精练1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosC=2a-c(1)求角B；16π(2)在①△ABC的外接圆的面积为，②△ABC的周长为12，③b=4，这三个条件中任选一个，求3△ABC的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】(1)由已知，根据给的2bcosC=2a-c，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用sinA=sin(B+C),把sinA换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；(2)由已知，根据第(1)问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用a+b+c=12，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.【详解】(1)∵2bcosC=2a-c∴2sinBcosC=2sinA-sinC·1·∴2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，∴2cosBsinC=sinC1∵C∈0,π∴sinC≠0∴cosB=2π∵B∈0,π，∴B=3(2)若选①，设△ABC的外接圆半径为R，1624则π=π⋅R，∴R=3343∴b=2RsinB=2××=432由余弦定理，得：b2=a2+c2-2accosB即16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时，等号成立.即△ABC的面积的最大值为43若选②∵a+b+c=12，∴b=12-(a+c)由余弦定理b2=a+c2-2accosB，[12-(a+c)]2=a2+c2-aca+c2ac=8(a+c)-48，又≥ac2a+c2∴-8(a+c)+48≥02∴a+c≥24(舍)或a+c≤8，当且仅当a=c时等号成立133a+c2∴S=acsinB=ac≤⋅=43，当且仅当a=c时等号成立2442若选③，由余弦定理，得：b2=a2+c2-2accosB即16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时，等号成立.113∴S=acsinB≤×16×=43即△ABC的面积的最大值为43△ABC222【题型训练1-刷真题】一、解答题π1(2023·北京·统考高考真题)设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφω>0,|φ|<．23(1)若f(0)=-，求φ的值．2π2π2π(2)已知f(x)在区间-,上单调递增，f=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择333一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．π条件①：f=2；3π条件②：f-=-1；3ππ条件③：f(x)在区间-,-上单调递减．23注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．π【答案】(1)φ=-.3π(2)条件①不能使函数f(x)存在；条件②或条件③可解得ω=1，φ=-.6·2·π【分析】(1)把x=0代入f(x)的解析式求出sinφ，再由|φ|<即可求出φ的值；2π2π(2)若选条件①不合题意；若选条件②，先把f(x)的解析式化简，根据f(x)在-,上的单调性及函33ππ数的最值可求出T，从而求出ω的值；把ω的值代入f(x)的解析式，由f-=-1和|φ|<即可求出32πφ的值；若选条件③：由f(x)的单调性可知f(x)在x=-处取得最小值-1，则与条件②所给的条件一3样，解法与条件②相同．π【详解】(1)因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|<23所以f(0)=sinω⋅0cosφ+cosω⋅0sinφ=sinφ=-，2ππ因为|φ|<，所以φ=-.23π(2)因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|<，2π所以f(x)=sinωx+φ,ω>0,|φ|<，所以f(x)的最大值为1，最小值为-1.2π若选条件①：因为f(x)=sinωx+φ的最大值为1，最小值为-1，所以f=2无解，故条件①不能使3函数f(x)存在；π2π2ππ若选条件②：因为f(x)在-,上单调递增，且f=1，f-=-13333T2ππ2π所以=--=π,所以T=2π,ω==1,233T所以f(x)=sinx+φ，ππ又因为f-=-1，所以sin-+φ=-1，33ππ所以-+φ=-+2kπ,k∈Z，32πππ所以φ=-+2kπ,k∈Z，因为|φ|<，所以φ=-.626π所以ω=1，φ=-；6π2πππ若选条件③：因为f(x)在-,上单调递增，在-,-上单调递减，3323ππ所以f(x)在x=-处取得最小值-1，即f-=-1.33以下与条件②相同．2π2(2021·北京·统考高考真题)在△ABC中，c=2bcosB，C=．3(1)求∠B；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：c=2b；条件②：△ABC的周长为4+23；33条件③：△ABC的面积为；4π【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．6【分析】(1)由正弦定理化边为角即可求解；·3·(2)若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】(1)∵c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，2π32ππ2π∴sin2B=sin=，∵C=，∴B∈0,，2B∈0,，32333ππ∴2B=，解得B=；363csinC2(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得===3，bsinB12与c=2b矛盾，故这样的△ABC不存在；π若选择②：由(1)可得A=，6设△ABC的外接圆半径为R，π则由正弦定理可得a=b=2Rsin=R，62πc=2Rsin=3R，3则周长a+b+c=2R+3R=4+23，解得R=2，则a=2,c=23，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：232+12-2×23×1×cosπ=7；6π112333若选择③：由(1)可得A=，即a=b，则S=absinC=a×=，解得a=3，6△ABC2224则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：2221b+a-2×b×a×cos2π=3+3+3×3=.223422【题型训练2-刷模拟】一、解答题3(2023·四川·校联考模拟预测)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个322条件①m=sinA,-，n=2cos2A,2cosA，且m⎳n；②asinB=3bcosA；③cosB+cosC=2cos2A+1-sinBsinC中任选一个，回答下列问题．(1)求A；(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．π【答案】(1)A=3(2)3【分析】(1)条件①：根据向量平行的坐标表示转化sin2A=-3cos2A，求得A；条件②：根据正弦定理转化为sinA=3cosA，求得A；条件③：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得A.(2)根据余弦定理及基本不等式求得△ABC面积的最大值．3【详解】(1)选择条件①，因为m=sinA,-，n=2cos2A,2cosA，且m∥n，23所以sinA⋅2cosA+×2cos2A=0，2·4·即sin2A=-3cos2A，所以tan2A=-3，π由△ABC为锐角三角形可知0