均值不等式的“十一大方法与八大应用”(学生版)

均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为(    )3A.9B.6C.3D.2典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为(    )A.36B.25C.16D.9【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)1ba推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+≥2(a>0)(3)+≥2(a,b>0)aab2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法。【变式训练】1.(2022·上海·高三学业考试)已知x>1，y>1且lgx+lgy=4，那么lgx·lgy的最大值是(    )11A.2B.C.D.42412.(2023·全国·高三专题练习)已知0-3，则的最小值为(    )a+3A.2B.4C.5D.6【方法技巧总结】1.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。【变式训练】1.(2022·广东·惠州市华罗庚中学高一阶段练习)已知函数fx=lgx，且fa=fb，则a+b的取值范围为(    )A.2,+∞B.2,+∞C.10,+∞D.10,+∞42.(2022·湖北·高一期中)函数f(x)=+x(x<3)的最大值是(    )x-3A.-4B.1C.5D.-1方法三：“和积化归”【典例分析】典例3．(2022·山东山东·高一期中)已知x>0，y>0，且x+y+xy=3，若不等式x+y≥m2-m恒成立，则实数m的取值范围为(    )A.-2≤m≤1B.-1≤m≤2C.m≤-2或m≥1D.m≤-1或m≥2【方法技巧总结】1.技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的方法叫做“和积化归”。【变式训练】1.(2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习)已知正数a，b满足a+4b+2ab=6，则a+4b的最小值为(    )A.1B.2C.4D.5方法四：“化1”与“拼凑化1”【典例分析】14y典例4-1．(2022·河北·衡水市第二中学高一期中)若两个正实数x,y满足+=1，且不等式x+xy4<3m2-m有解，则实数m的取值范围为(    )44A.-1,B.-∞,-1∪,+∞3344C.-,1D.-∞,-∪1,+∞33121典例4-2．(2022·江西宜春·高二阶段练习(理))已知a，b均为正数，且+=，则2a+ba+1b-22的最小值为(    )A.8B.16C.24D.32【方法技巧总结】1.技巧：化1法流程为：①条件化1，与问题相乘，②将乘积式展开为四项，其中两个含参，另外两个为常数，③对其适用均值定理推论进行求最值。2.注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为(或可整理为)两个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参数在分子。【变式训练】1.(2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习)已知正数a，b满足a9×b27=3，则3a+2b的最小值为(    )A.10B.12C.18D.24y462.(2022·四川外国语大学附属外国语学校高一期中)设正实数x,y满是3x+=2，则+的22x+1y+1最小值为( )9+627+42A.B.32C.D.4244方法五：“不等式链”【典例分析】典例5．(2022·全国·高三专题练习(文))若x>0，y>0且x+y=2，则下列结论中正确的是(    )1A.x2+y2的最小值是1B.xy的最大值是421C.+的最小值是42D.x+y的最大值是2xy【方法技巧总结】2a+b221.公式：≤ab≤≤a+b(a,b∈R*)21+12ab2.技巧：上式由左至右分别为调和平均数、几何平均数、代数平均数、平方平均数。另外，不等式链可进行平方，会得到一个新的不等式链也可直接适用，注意此时a,b∈R。【变式训练】3.(2022·广东·博罗县东江广雅学校有限公司高一阶段练习)若a2+b2=2，下列结论错误的是(    )A.ab的最大值为1B.ab的最小值为-1C.a+b的最大值为22D.(a+b)ab的最大值为2方法六：“复杂分式构造”【典例分析】xy典例6．(2022·江苏·歌风中学高一阶段练习)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得z212最大值时，+-的最大值为()xyz9A.9B.1C.D.34【方法技巧总结】1.技巧:把分式化为齐次式，可通过拼凑和同除的方法进行构造出均值定理的形式再进行求解最值。2.注意：要观察取等条件，看是否满足定义区间。【变式训练】x2+116x2+11.(2022·河北张家口·高二期末)函数fx=的最大值是(    )4x2+1753A.2B.C.D.444方法七：“换元法”【典例分析】38典例7．(2022·江西·南昌二中高三阶段练习(理))已知正数x，y满足+=1，则x+2yy3x+2yxxy的最小值是(    )5845A.B.C.D.4332【方法技巧总结】1.方法：代数换元、三角换元。2.技巧：代数换元：先对等式进行拼凑补形，再进行换元，结合函数以及导数确定单调性进而求解最值。三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解。【变式训练】1.(2023·全国·高三专题练习)设a>0，b>0，若a2+b2-3ab=1，则3a2-ab的最大值为(    )A.3+3B.23C.1+3D.2+3方法八：“消元法”【典例分析】典例8．(2022·四川省眉山第一中学高一阶段练习)设b>0,ab+b=1,则a2b的最小值为(    )A.0B.1C.2D.4【方法技巧总结】1.技巧:对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元.【变式训练】11.(2022·四川成都·三模(理))若实数m，n满足n=2m-m2，则2m+3n-2的最大值为(    )．2A.2B.3C.23D.4方法九：“平方法”【典例分析】x+y典例9．(2016·上海市七宝中学高一期中)已知x,y>0，那么的最大值为x+yA.2B.2C.3D.5【方法技巧总结】1.技巧：当碰到含多个根号的形式或条件与问题次幂不统一时可以尝试对其平方，再进一步构造进而形成可用均值定理的形式。【变式训练】5a22b21.(2022·江苏苏州·高一期中)已知正实数a,b满足a+b=，则+的最小值是(    )2a+12b+1253113A.2B.C.D.16124方法十：“连续均值”【典例分析】ab+bc典例10．(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则的最大值为(    )a2+2b2+c21123A.B.C.D.2422【方法技巧总结】1.技巧：连续适用均值定理要注意不等号方向的统一，以及取等情况的合理性。【变式训练】14x2y21.(2022·全国·高三专题练习)设正实数x,y满足x>,y>1，不等式+≥m恒成立，则m2y-12x-1的最大值为(  )A.8B.16C.22D.42方法十一：“三元均值”【典例分析】典例11．(2022·河南郑州·高二期末(文))已知x，y，z∈R+，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz的最大值为(    )A.1B.2C.3D.4【方法技巧总结】ab+bc+ac31.公式：≥abc2，a,b,c都是正实数。3【变式训练】1.(2021·陕西·咸阳市实验中学高二阶段练习(文))已知a,b,c都是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值是(    )33A.B.C.1D.393应用一：在常用逻辑用语中的应用【典例分析】典例12．(晥豫名校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试题)“a≤2”是“sin2x-asinx+1>0在0,π上恒成立”的(    )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式训练】11.(2022·云南·建水实验中学高一阶段练习)若存在x∈,2，使得2x2-λx+1<0成立是假命题，则实0200数λ可能取值是(    )A.22B.23C.4D.5应用二：在函数中的应用【典例分析】1典例13．(2022·江苏·淮阴中学高一期中)奇函数fx在R上单调递增，若正数m，n满足f+m1fn-1=0，则2m+的最小值(    )nA.3B.42C.2+22D.3+22【变式训练】11.(2021·重庆·字水中学高一阶段练习)设二次函数fx=ax2-4x+c(x∈R)的值域为0,+∞，则c+19+的最大值为a+93138631A.B.C.D. 2533526应用三：在解三角形中的应用【典例分析】典例14．(2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+bsinA-sinB=csinC+sinB，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b+c最小值为(    )A.21B.24C.27D.36【变式训练】1.(2023·江西景德镇·模拟预测(理))已知△ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积S为S，若3sin2B+2sin2C=sinAsinA+2sinBsinC，则的值为(    )b211A.B.C.1D.242应用四：在平面向量中的应用【典例分析】典例15．(2022·四川·南江中学高三阶段练习(文))已知向量a,b，满足a=1,b=2，a与b的夹角为π，且实数x、y满足xa+yb=3，则x+2y的最大值为(    )3A.1B.2C.3D.4【变式训练】11.(2022·山东济宁·高三期中)已知向量m=a-5,1,n=1,b+1，若a>0,b>0，且m⊥n，则3a+2b1+的最小值为(    )2a+3b1111A.B.C.D.5101520应用五：在数列中的应用【典例分析】2典例16．(