借助导函数解决不等式中恒（能）成立问题（解析版）

借助导函数解决不等式中恒(能)成立问题目录一、恒(能)成立的方法技巧1.变量分离法2.分类讨论法3.等价转化法4.双元最值法5.构造法和同构法二、恒(能)成立的综合应用(精选高考模拟题)一、恒(能)成立的方法技巧1.变量分离法1(2023·河南·校联考模拟预测)若a>0，b>0，且at+(b-2ea)lnb≥(b-2ea)lna，则实数t的取值范围是．【答案】e,+∞【详解】因为at+b-2ealnb≥b-2ealna，所以at+b-2ealnb-lna≥0，bb因为a>0，所以-2eln≥-t，aab2e令x=>0，令fx=x-2elnx，其中x>0，则fx=lnx+1-，其中x>0，ax2e因为函数y=lnx+1、y=-在0,+∞上为增函数，x所以，函数fx在0,+∞上为增函数，2e又fe=lne+1-=0，由fx<0可得00可得x>e，e所以，函数fx的单调递减区间0,e，单调递增区间为e,+∞，所以，fxmin=fe=e-2elne=-e，所以，-t≤-e，即t≥e.故t的取值范围为e,+∞．故答案为：e,+∞．32(2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习)已知函数fx=xlnx-aa∈R.(1)求函数fx的单调区间；3(2)若fx+ax+1≥ax，求实数a的取值范围.a-1a-1【答案】(1)单调减区间为0,e3，增区间为e3,+∞(2)(-∞,1]13【详解】(1)由fx=xlnx-aa∈R，定义域为(0,+∞)，2312可得fx=3xlnx-a+x⋅=x3lnx+1-3a，x令u(x)=3lnx+1-3a，该函数在(0,+∞)上单调递增，a-1令u(x)=3lnx+1-3a=0，则x=e3，1a-令u(x)<0，即fx<0，则00，即fx>0，得x>e3；a-1a-1故fx的单调减区间为0,e3，增区间为e3,+∞；333(2)因为fx+ax+1≥ax恒成立，所以xlnx-a+ax+1≥ax，x∈0,+∞，321即xlnx+1≥ax,∴a≤xlnx+恒成立，x33212xlnx+x-1令gx=xlnx+，x∈0,+∞，则gx=，xx2332令hx=2xlnx+x-1，则hx=x6lnx+5，55--当0e6时，hx>0，55--故hx即gx在0,e6上单调递减，在e6,+∞上单调递增，而g1=0，且当x>0，无限趋近于0时，gx<0，故当x∈(0,1)时，gx<0，当x∈(1,+∞)时，gx>0，即gx在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故gxmin=g(1)=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为(-∞,1].3(2023春·广东汕头·高二校考期中)已知函数fx=lnx-2ax.(1)若x=1是f(x)的极值点，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；1【答案】(1)a=2(2)答案见解析1(3)a≥；2e11-2ax【详解】(1)由fx=lnx-2ax，得fx=-2a=，xx因为x=1是f(x)的极值点，1所以f(1)=0，即1-2a=0，所以a=，经检验符合题意.211-2ax(2)fx=-2a=.xx1-2ax当a≤0时，fx=>0，所以fx在0,+∞上单调递增；x1-2ax1当a>0时，令fx==0，解得x=，x2a11-2ax当x∈0,时，fx=>0；2ax11-2ax当x∈,+∞时，fx=<0；2ax211所以fx在0,上单调递增，在,+∞上单调递减，2a2a11综上，当a≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当a>0时，fx在0,上单调递增，在,+∞上单2a2a调递减；(3)f(x)的定义域为(0,+∞)，若f(x)≤0恒成立，则lnx-2ax≤0恒成立，lnx即2a≥恒成立，xlnx(lnx)⋅x-lnx⋅x1-lnx令g(x)=，只需2a≥g(x)max，又g(x)==，xx2x2令g(x)=0得x=e，lnxx∈(0,e)时，g(x)>0，则g(x)=单调递增；xlnxx∈(e,+∞)时，g(x)<0，则g(x)=单调递减；x11所以2a≥g(x)=g(e)=，解得：a≥；maxe2e124(2023秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习)已知函数fx=x+alnx-1，gx4112=fx+-x+x．ex4(1)当a=-1时，求函数fx的极值；gx1-gx2(2)若任意x1、x2∈1,+∞且x1≠x2，都有>1成立，求实数a的取值范围．x1-x2【答案】(1)极小值f2=1，无极大值；1(2)a≥e212【详解】(1)解：当a=-1时，fx=x-lnx-1，其中x∈1,+∞，4211x-x-2则fx=x-=，令fx=0，解得x=-1或x=2，2x-12x-1又因为x>1，所以x=2，列表如下：x1,222,+∞fx-0+fx单调递减极小值单调递增因此fx有极小值f2=1，无极大值.11212(2)解：因为gx=fx+-x+x，fx=x+alnx-1，ex441所以gx=alnx-1++x，其中x∈1,+∞，ex对∀x1、x2∈1,+∞且x1≠x2，不妨设x1>x2，则x1-x2>0，得到gx1-gx2>x1-x2，化为gx1-x1>gx2-x2，设hx=gx-x且函数hx的定义域为1,+∞，1所以hx=alnx-1+在1,+∞为增函数，ex3a1x-1即有hx=-≥0对x>1恒成立，即a≥对任意的x>1恒成立，x-1exexx-12-x设φx=，其中x∈1,+∞，则φx=，exex令φx>0，解得12，所以φx在1,2上单调递增，在2,+∞上单调递减，11所以φx最大值φ2=，因此实数a的取值范围是a≥．e2e25(2023秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习)已知fx=ax-lnx,a∈R．(1)讨论fx的单调性和极值；(2)若x∈0,e时，fx≤3有解，求a的取值范围．【答案】(1)见解析2(2)-∞,e1ax-1【详解】(1)fx=a-=,x>0，xx当a≤0时，fx<0恒成立，函数在区间0,+∞上单调递减，无极值；1当a>0时，令fx=0，得x=，a11fx<0，得00，得x>，函数在区间,+∞上单调递增，aa11当x=，函数取得极小值f=1+lna，aa综上可知，a≤0时，函数的单调递减区间是0,+∞，无增区间，无极值；11a>0时，函数的单调递增区间是,+∞，单调递减区间0,，极小值1+lna，无极大值.aa(2)由题意可知，ax-lnx≤3，x∈0,e时有解，3lnx3lnx则a≤+，在x∈0,e时有解，即a≤+,x∈0,e，xxxxmax3lnx设gx=+，x∈0,e，xx31-lnx-2-lnxgx=-+=，x2x2x21令gx=0，得x=，e21当00，gx单调递增，e21当0时，fx在0,单调递增，在,+∞单aa4调递减；(2)-∞,11【详解】(1)fx=-a，定义域为0，+∞，x①若a≤0，则fx>0，fx在0，+∞上为增函数，1②若a>0，令fx=0，得x=，a11当00；当x>时，f(x)<0aa11∴fx在0,单调递增，,+∞单调递减aa综上所述当a≤0时，fx在0，+∞上为增函数；11当a>0时，fx在0,单调递增，在,+∞单调递减；aa2+lnx0(2)因为∃x0∈0，+∞，使得fx0≥2a-2，所以a≤，1+x02+lnx令gx=(x>0)，即a≤g(x)，1+xmax1-lnx-1x因为gx=，(1+x)2111设hx=-lnx-1，hx=--<0，xx2x所以hx在0,+∞单调递减，又h1=0，则当x∈0,1,gx>0，当x∈1,+∞,gx<0，故函数gx在0,1单调递增，1,+∞单调递减，gx的最大值为g1，a≤g1=1，即实数a的取值范围是-∞,1．2.分类讨论法x2-2x+4,x<21(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥31,2x+xx≥2|x+a|在R上恒成立，则a的取值范围为()A.B.C.D.【答案】Ax2-2x+4,x<2【详解】已知函数fx=31，设a∈R，若关于x的不等式fx≥x+a在R上恒成立，2x+x,x≥2a≥-x2+x-4当x<2时，-x2+2x-4≤x+a≤x2-2x+4，，a≤x2-3x+421215115y=-x+x-4=-x--，当x=时，y=-，12421max4232737157y=x-3x+4=x-+，当x=时，y=，则-≤a≤.22422min4445513131a≥-2x-x当x≥2时，-x-≤x+a≤x+，则，2x2xx1a≤2+x251512-5x11y3=-x-，y3=-+=，当x≥2时，y3<0，函数y3单调递减，则y3max=-；2x2x22x222x111x-23y4=+，y4=-=，当x≥2时，y4>0，函数y4单调递增，则y4min=，2x2x22x22113所以-≤a≤.22153综上所示，-≤a≤.42故选：A.lnx2(2023秋·河南·高三校联考开学考试)已知函数fx=，x∈D．其中D=0,1∪1,+∞1-x11(1)求函数fx在点,f处的切线方程；22a(2)若gx=-，且∀x∈D，fx≥gx恒成立，求a的取值范围．x【答案】(1)4-4ln2x-y-2=0(2)1,+∞1-x+lnx1+1ln1【详解】x1-x+xlnx，1222，(1)∵fx=2=2∴f==4-4ln21-xx1-x21811ln2又f==-2ln2，212111∴fx在点,f处的切线方程为y+2ln2=4-4ln2x-，即4-4ln2x-y-2=0.222lnxlnx(2)当x∈0,1时，fx=<0；当x∈1,+∞时，fx=<0；1-x1-x∴fx<0在x∈D上恒成立，a当a≤0时，gx=-≥0，∴fx≥gx不成立，不合题意；xlnx当a>0时，不等式可变形为：a≥，x-1x11当x∈0,1时，ax-≤lnx=2lnx，即2lnx-ax-≥0；xx11当x∈1,+∞时，ax-≥lnx=