2023年数学九年级上册人教版专题04 二次函数与几何综合（原卷版）（人教版）

专题04二次函数与几何综合等腰三角形存在性问题1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．  (1)求此二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．  (1)求抛物线的表达式；(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．  (1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线的顶点，请画出四边形，并求出四边形的面积；(3)点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，点为抛物线对称轴上一点．若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出其中一种情况的计算过程．直角三角形问题4．抛物线经过点和点．  (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线上的动点且位于直线下方，连接、．①在点运动过程中，若的面积为，求点的坐标；②在点运动过程中，若为直角三角形，求点的横坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标．6．已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．     (1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式；(2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标．(3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．菱形存在性问题7．如图，抛物线过点．  (1)求抛物线的解析式；(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线与x轴、y轴分别交于A，B，C三点，，，与x轴交于点F，以为边作等边三角形．    (1)求抛物线的解析式；(2)连接交与点M，交y轴于点P，连接求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，点Q为平面内一点，在平移过程中是否存在点Q，D，E，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．  (1)求抛物线的解析式．(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．矩形、正方形存在性问题10．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接．  (1)求抛物线的解析式．(2)点P在抛物线上，连接，当时，求点P的坐标；(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知直线与抛物线交于点和两点，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于Q，于点N．  (1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线下方时，求线段的最大值；(3)是否存在点P使得是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；(4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点和点，点P在此抛物线上，其横坐标为m．  (1)求该抛物线的解析式；(2)当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围；(3)当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h．①求h与m之间的函数关系式；②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．    (1)求抛物线的表达式；(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在矩形中，点为原点，、的长是方程的两根（）．抛物线经过点、，与交于点．    (1)求抛物线的函数解析式；(2)点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．①求关于的函数表达式；②当最大时，点的坐标为；③当最大时，点在抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．