2023年数学九年级上册人教版专题05 二次函数的实际应用（解析版）（人教版）

专题05二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：  请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．【答案】(1)(2)长为时，窗框的面积最大，最大为(3)见解析【分析】（1）当时，得出，再由长方形面积公式计算即可；（2）设长为时，窗框的面积为，则，然后根据二次函数的最值求解方法求解即可；（3）图案③：设长为时，窗框的面积为，则，根据二次函数的最值求解方法得当时，y有最大值，即当时，即可得出窗框的面积为；图案④：当时，根据，则此方程无解，则图案④不能达到这个面积．【详解】（1）解：当时，则，∴窗框的面积．故答案为：；（2）解：设长为时，窗框的面积为，则，∵，∴当时，y有最大值1，即当长为时，窗框的面积最大，最大为．（3）解：设长为时，窗框的面积为，则，∵，∴当时，y有最大值，令，整理得：，∵，∴此方程无解，∴图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握矩形的面积和二次函数对最值，根的判别式是解题的关键．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？    【答案】当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米【分析】连接，分别交于点，交于点，先判断出四边形是矩形，从而可得，再判断出四边形和四边形都是矩形，从而可得米，，然后设矩形的面积为平方米，米，则米，米，利用矩形的面积公式可得关于的二次函数，最后利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：如图，连接，分别交于点，交于点，  ，，米，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，，，，，四边形是矩形，，四边形和四边形都是矩形，米，，和都是等腰直角三角形，，，设矩形的面积为平方米，米，则米，米，米，米，，又，与之间的距离为2米，米，，由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米．【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．  (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．【答案】(1)(2)当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．【分析】（1）由可表示出的长，由，可表示出，，，，，的长，进而可求出与之间的函数关系式；（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答．【详解】（1）∵四边形是矩形，∴，∵，∴．∵，是边的中点，∴，，∵，∴，∴．∵点、、分别是边、的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）设面积为S，则，∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．图形运动问题4．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（ ）  A．  B．  C．   D．  【答案】C【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可【详解】解：如图，当时，  重叠部分为三角形，面积，如图，当时，  重叠部分为梯形，面积，∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．5．如图，一个边长为的菱形，，过点作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为，则与直线平移的距离之间的函数图象大致为（    ）  A．  B．   C．   D．  【答案】A【分析】利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图象即可解答．【详解】∵四边形是菱形，∴，，①当时，如图，   ，，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，  ，图象是线段；③当时，如图，  ，图象开口向下的抛物线的一部分；故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是：弄清楚不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．如图，正方形的边长为，点O为正方形的中心，点P从点A出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，连接，在移动的过程中始终保持，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）  A．   B．  C．   D．  【答案】D【分析】分情况求出当点P在上时、当点P在上时的函数关系式，再依题判断即可．【详解】解：如图，当点P在上时，延长交与点E，  ∴，由题得，，，∴，∵，∴，∴；当点P在上时，  由题得，，∴．故选D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．销售利润问题7．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．解答下列问题：  (1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？【答案】(1)(2)70元(3)销售单价为85元时销售利润最大，最大为2450元【分析】（1）设y与x的函数关系式为，代入，，即可求解；（2）先得出，当时，，解方程即可求解；（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y与x的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）（天）的关系如表：时间x（天）1361036……日销售量m（件）9490847624……未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为（且x为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为（且x为整数）．(1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与x（天），直接写出日销售量m（件）与时间x（天）的函数关系式；(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（且a为整数）给贫困户，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天），求出a的值，即可求前20天中公司共捐赠给贫困户多少钱？【答案】(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围，进而求解即可．【详解】（1）解：（1）由题意可知，m（件）与x（天）满足一次函数关系．设一次函数关系式为，将、分别代入一次函数关系式中，得解得，∴，经检验，其他m与x的对应值均适合以上关系式．（2）解：设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元，则，∵，，∴当时，有最大值，最大值为450；，∵，此函数图象开口向上，对称轴是直线，∴当时，有最大值，最大值为．∵，∴第18天的日销售利润最大为450元；（3）解：由题意得：，配方得：，要使日销售利润随时间x增大而增大，则要求对称轴，解得；又∵，故，∵a为整数，∴，∴前20天中公司共捐赠给贫困户的钱数为（元）．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型．9．陕西大樱桃发展十分迅速，后来居上，成为我国三大樱桃产地之一，其中，铜川大樱桃最为出名，先后荣获“国家地理标志保护产品”“中国优质甜樱桃之都”等殊荣，每到樱桃成熟的季节，就会有大批的水果商收购樱桃．今年某村在销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨，据测算，每吨平均投入成本1万元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于万元/吨，不高于万元/吨．设樱桃的批发价为x(万元/吨)，每天获得的利润为y(万元)，请解答下列问题：(1)用含x的代数式表示每天樱桃的销售量为_______(吨)，并求出每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式；(2)若该村每天批发樱桃要盈利15万元，求樱桃的批发价应定为多少万元/吨？(3)当樱桃的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)，(2)若该村每天批发樱桃要盈利15万元，樱桃的批发价应定为4万元/吨(3)当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元【分析】（1）根据“批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨”用含x的代数式表示每天樱桃的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式可得，解方程后根据即可得到答案；（3）由题意得到，根据和二次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解:每天樱桃的销售量为（吨），故答案为：根据题意得，∴每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式为．（2）根据题意可得，解得．∵，∴，答：若该村每天批发樱桃要盈利15万元，樱桃的批发价应定为4万元/吨；（3），∵，抛物线开口向下，∴当时，y有最大值，最大值为，∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元．【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函数关系式是解题的关键．投球问题10．一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（g取），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．(1)当小球的高度为米时，求时间的值；(2)小球的高度能达到米吗？请作出判断，并说明理由．【答案】(1)小球的高度为米时，所用时间为或；(2)小球的高度不能达到米．理由见解析【分析】（1）把，代入所给关系式