2023年数学九年级上册人教版专题04 二次函数与几何综合（解析版）（人教版）

专题04二次函数与几何综合等腰三角形存在性问题1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．  (1)求此二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)的面积是3(3)存在，点的坐标为或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可求解；（3）分别讨论为等腰三角形的底边或腰，即可求解．【详解】（1）解:将，，代入，得，解得，故此二次函数的解析式为.（2）解：由知，.∵，，，，，∴.∴是直角三角形，且.∴，即的面积是3.（3）解：存在，点的坐标为或.由（2），知，对称轴为直线，①若以为底边，则，设点的坐标为，根据勾股定理，得，∴，又∵点在抛物线上，∴，∴，解得，.∵点在其对称轴右侧的抛物线上，对称轴为直线，∴，∴，即点的坐标为；②若以为一腰，∵点在其对称轴右侧的抛物线上，∴由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称，此时点的坐标为.综上所述，点的坐标为或.【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、二次函数与特殊三角形问题．利用分类讨论思想是求解第三问的关键．2．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．  (1)求抛物线的表达式；(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)三角形面积的最大值是，此时点的坐标是(4)点的坐标为或或或【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，，直线，当时，，当时，，解得，，抛物线经过点，，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：如图1，设直线交于点，连接，  直线，当时，，，直线垂直平分，，，，当点与点重合时，，此时的值最小，，此时的值最小，当的值最小时，点的坐标是，故答案为：；（3）解：如图2，作轴于点，交于点，  点的横坐标为，，，，，当时，，此时，三角形面积的最大值是，此时点的坐标是；（4）解：存在，设点的坐标为，则，解得，，，设点的坐标为，如图3，设直线与轴交于点，  点点关于轴对称，，此题是等腰三角形，，延长交直线于点，，，，，，，三点在同一条直线上，不存在以三点为顶点的等腰三角形，如图4，，且点在轴上方，  ，，解得：，,，如图4，，且点在轴下方，设直线与轴交于点，，，，如图4，，，，解得：，，综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．  (1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线的顶点，请画出四边形，并求出四边形的面积；(3)点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，点为抛物线对称轴上一点．若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出其中一种情况的计算过程．【答案】(1)(2)15(3)或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图所示，过点D作轴于G，先求出，再根据进行求解即可；（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用一线三垂直模型构造全等三角形进行求解即可．【详解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：如图所示，过点D作轴于G，∵抛物线解析式为，∴抛物线顶点D的坐标为，∴，在中，当时，，∴，∴，∵，，∴，∴；  （3）解：设，如图3-1所示，当时，过点E作于M，设直线交x轴于H，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）可知，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；  如图3-2所示，当时，过点E作轴于M，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴；  如图3-3所示，当时，过点E作于M，过点B作交延长线于N，同理可证，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；综上所述，或或．  【点睛】本题是二次函数综合，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．直角三角形问题4．抛物线经过点和点．  (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线上的动点且位于直线下方，连接、．①在点运动过程中，若的面积为，求点的坐标；②在点运动过程中，若为直角三角形，求点的横坐标．【答案】(1)；(2)①或；②或．【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点作轴，交于点，设，，则，，，先根据抛物线和直线的解析式求出点的坐标，再利用面积公式构造方程求解即可；②分与两种情况，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，∴，解得，∴该抛物线对应的函数解析式为；（2）解：①过点作轴，交于点，设，，则，，，  ∵抛物线与直线相交于、两点，∴，解得或，当时，，当时，，∴，，，，∵，的面积为，∴，解得或，当时，，当时，，∴，或，；②设，，由①得，，，，∴，，，∵轴轴，∴是以为直角的直角三角形，∴是锐角，∵点是抛物线上的动点且位于直线下方，∴在的内部，即,∴是锐角，即是不存在的情形，  当时，，∴，∴，∴或，解得（舍去）或（舍去）或（舍去），当时，，∴，∴∴（舍去）或，综上，点的横坐标为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数解析式，勾股定理，二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数之间的关系，熟练掌握勾股定理及数形结合的思想是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标．【答案】(1)(2)，此时点(3)在抛物线的对称轴上存在点D，使为直角三角形，点D的坐标为或【分析】（1）先求得A，B，C的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）设点坐标为，则点的坐标为，由，即可求解；（3）分、，两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：令，解得：，即点A的坐标为．∵A、B关于直线对称，∴点B的坐标为．令，则，∴点C的坐标为，∵抛物线经过点A、B、C，∴有，解得：．故抛物线解析式为；（2）∵轴，设点坐标为，∴点的坐标为，∴，∴当时，，此时点；（3）假设存在，设D点的坐标为．由两点间的距离公式可知：，，，为直角三角形分两种情况：①，此时有，即：，解得：，此时点D的坐标为；②，此时有，即：，解得：，此时点D的坐标为；综上可知：在抛物线的对称轴上存在点D，使为直角三角形，点D的坐标为或．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、直角三角形的性质、线段长度的计算方法等，分类求解是本题解题的关键．6．已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．     (1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式；(2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标．(3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)一次函数解析式为：，二次函数解析式为：(2)，(3)存在，点的坐标为或或或．【分析】（1）先利用待定系数法求得直线的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；（2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；（3）分三种情况讨论，分别当为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．【详解】（1）解：设，把，代入得：，，，一次函数解析式为：，把代入，，，二次函数解析式为：；（2）解：连接，  把代入得，，或3，抛物线与轴的交点横坐标为和3，设点，在抛物线上，且在第一象限内，，的坐标为，，当时，取得最大值．此时的坐标为；（3）解：设点，则，，，当为斜边时，则，解得（舍去）或，∴点；当为斜边时，则，解得（舍去）或，∴点；当为斜边时，则，解得（舍去）或（舍去）或或，∴点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．菱形存在性问题7．如图，抛物线过点．  (1)求抛物线的解析式；(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)的最大面积为，(3)存在，或或，，见解析【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．【详解】（1）解：将点代入解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴，设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：  ∴，∴，∴，∴当时，的最大面积为，，∴（3）存在，或或或，，证明如下：∵，∵抛物线的解析式为，∴对称轴为：，设点，若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，，∵，∴，∴，；若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，，∵，∴，∴，；综上可得：或或，．【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．8．如图1，抛物线与x轴、y轴分别交于A，B，C三点，，，与x轴交于点F，以为边作等边三角形．    (1)求抛物线的解析式；(2)连接交与点M，交y轴于点P，连接求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，点Q为平面内一点，在平移过程中是否存在点Q，D，E，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或，或．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）根据等边三角形和直角三角形的性质，可知，即轴，从而得到，再求出直线EF的解析式即可求P点坐标；（3）设，根据菱形的性质，分三种情况讨论：①当为菱形的对角线时，，此时E（1，）或（1，）；②当为菱形的对角线时，，此时；③当为菱形的对角线时，，此时t无解．【详解】（1）将，代入，，解得，∴抛物线的解析式为x2x；（2）∵，，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴轴，∴，∵,∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线EF的解析式为x，∴；（3）存在点Q，使得以点A，D，E，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：设，①当为菱形的对角线时，，∴，解得或，∴，或；②当为菱形的对角线时，，∴，解得，∴；③当AQ为菱形的对角线时，AE=AD，∴，t无解；综上所述：E点坐标为或，或．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．  (1)求抛物线的解析式．(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐