2023年数学九年级上册人教版专题08 圆的性质及其有关计算（解析版）（人教版）

专题08圆的性质及其有关计算圆的相关概念1．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据直径是最长的弦即可求解．【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，∴的长不可能是，故选：D．【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．2．在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．【详解】解：如图，过点作于点，连接，，，当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，故选：B．【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．3．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．【答案】三/3，，【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．【详解】解：图中的弦有，，共三条．故答案为：三；，，．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．垂径定理4．如图，是的直径，弦于点，，，则长为．【答案】【分析】先利用垂径定理得到，设，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵是的直径，弦于点，∴，设，则，在中，，即，解得，即的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为．  【答案】【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：过D作于E，则，  ∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径，∴，∴，∵点D是弧的三等分点（弧＜弧），∴，∴，∴,,∴,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键．6．如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为．  【答案】【分析】过作于，交于，反向延长交于点，交于点，则，连接，则为的直径．根据平行线的性质得到推出．根据勾股定理即可计算答案．【详解】解：过作于，交于，反向延长交于点，交于点，如图所示：  则，连接，则为的直径，，，，，∴∴，在中，，，在中，，，故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度．【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：  根据题意可得：，∵，∴，在中，，，故选：D．【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．8．如图，，于点E，若的半径为2，则的长为（ ）  A． B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长．【解答】解：连接，，作于点N，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故选：B．  【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．弧、弦、圆心角9．如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，可得，由圆心角定理可得．【详解】解：连接，如图，  ∵，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．如图，C、D是以线段为直径的上两点，若，且，则（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质先求出，根据，再根据直径的性质得，由此即可解决问题．【详解】解：∵，，∴，，是直径，，，故选：B．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是．  【答案】【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出的长，利用勾股定理，求出的长，再利用弧长公式，求出的长，然后根据圆锥的底面周长等于的长，设圆锥的底面半径是，利用圆的周长公式，即可求出该圆锥的底面半径．【详解】解：如图，连接，，是直径，即，，，，的长为，扇形围成一个圆锥，即圆锥的底面周长等于的长，设圆锥的底面半径是，，，故答案为：．  【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，弧长公式，圆锥的底面半径，解题关键是掌握圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥的底面周长．12．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．  【答案】弧的度数为【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可．【详解】解：如图，连接．  ∵，∴．∵，∴，∴，即弧的度数为．【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键．圆周角13．如图，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．  (1)若，求的度数；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)的长为【分析】（1）根据垂径定理的推论可得，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出，根据垂径定理的推论可得，即可求解．【详解】（1）解：∵是的一条弦，，∴，又∵，∴．（2）解：∵，∴，在中，，∵是的一条弦，，∴，则．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．  (1)求证：；(2)若，求的直径．【答案】(1)见解析；(2)5【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：连接，如图，  ∵为的直径，∴，即，∵点C为的中点，∴，∴，∴；（2）解：设交于点T，如图，  ∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，设，则，∴，∴，即的直径为5；【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质,勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题．正多边形与圆15．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解．【详解】解：∵、切于点A、C，∴，，∴正五边形的每个内角的度数为：，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．16．如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(   )  A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得．【详解】解：五边形是正五边形，，切，于点M，N，，又五边形的内角和为，，，故选C．【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式．17．如图，正六边形内接于，点P在上，点Q是的中点，则的度数为（ ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据圆内接正六边形的性质和点Q是的中点，得到，，得到，根据圆周角定理即可得到的度数．【详解】解：如图，连接，  ∵正六边形内接于，Q是的中点，∴，，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆的知识是解题的关键．与弧长与扇形公式18．如图，在中，，以点A为圆心、2为半径的与相切于点D，交于E，交于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是（    ）.  A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接，由题意知，，，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，  由题意知，，，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积，圆周角定理．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．19．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB绕点A顺时针旋转得到扇形，点O的对应点恰好落在上，若，则图中阴影部分的面积为．  【答案】/【分析】，据此即可求解．【详解】解：连接，如图：  由旋转的性质可得：∵，∴是等边三角形过点作  ∵，∴化简得：，故答案为：【点睛】本题考查扇形面积及不规则图形面积的计算．抓住是解题关键．20．如图，正方形的边长是，将对角线绕点顺时针旋转的度数，点旋转后的对应点为，则弧的长是（结果保留π）．  【答案】【分析】先根据正方形的性质得到，然后利用弧长公式计算即可求解．【详解】解：∵四边形为正方形，∴∴弧的长是故答案为：．【点睛】本题考查了弧长的计算，正方形的性质，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．21．如图，在四边形中，，将四边形绕点A逆时针旋转至处，则旋转过程中，边所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为．【答案】【分析】根据直角三角形的性质求出及的长，再由三角形的面积公式求出的面积，由扇形的面积公式得出扇形及扇形的面积，由即可得出结论．【详解】解：连接．∵在四边形中，，，∴，，，∴，∴．∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．22．如图，矩形中，，，将矩形在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为  【答案】【详解】由勾股定理得矩形的对角线长为10，从到是以点为圆心为半径的弧，从到是以为圆心为半径的弧，从到是以为圆心为半径的弧，利用弧长公式即可求出顶点经过的路线长．【分析】由勾股定理得矩形的对角线长为10，从到，，路线长为；从到，，路线长为；从到，，路线长为；所以总长为．故填空答案：．【点睛】本题主要考查圆的弧长公式，准确找到旋转得到的弧是解题的关键．22．如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．  (1)求证：；(2)若，，求阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．【详解】（1）解：如图，连接，∵，则，  ∴，∵正方形，∴，，∴，∴，∵，∴．（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，  ∵O为正方形中心，∴，，而，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴，，而正方形的边长，∴，解得：，∴，∵，，，∴，∴，而，∴．【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．23．如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（    ）  A．10 B． C． D．5【答案】D【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解．【详解】解：如图所示，作点关于的对称点