2023年数学九年级上册人教版专题06 二次函数压轴题专项训练（解析版）（人教版）

专题06二次函数压轴题专项训练1．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为．  【答案】【分析】连接交于D，根据菱形的性质得到，设，将点B坐标代入函数解析式，解得t的值，即可得到的值，即可求得菱形的面积．【详解】解：如图，连接交于D，  ∵四边形为菱形，∴，，，，平分，∵，∴，∴，∴，设，则，∴把代入得：，解得：（舍去），，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的性质；菱形四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；菱形面积等于对角线乘积的一半，二次函数函数图像上点的坐标，熟知上述性质是解题的关键．2．如图，已知四边形中，，，且．连接，则的最大值是．  【答案】【分析】过点作于点，设，，根据勾股定理求出，，根据令，，则，根据二次函数的图象和性质，得当时，有最小值，则有最大值，即可．【详解】过点作于点，见图∴，∵，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，设，，∴，，∴，∴，令，，如下图，∵，∴，∴对称轴为：，∴当时，有最小值，∴当时，有最大值，∴．故答案为：．      【点睛】本题考查二次函数和几何的结合，解题的关键是掌握勾股定理的运用，正方形的判定和性质，二次函数的图象和性质．3．已知点在二次函数，其中，，，，令，，，；为的个位数字为正整数，则下列说法：；；；的最小值为，此时；的个位数字为其中正确的是填序号．【答案】/③②【分析】根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断，将变形为，可计算出结果进而判断，由得，根据二次函数的性质及为正整数可判断其最值，进而判断，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，找其规律可判断．【详解】解：，则当时，，，即：，当时，，故错误；，，故正确；，故正确；，，取得最小值，此时或，故错误；为的个位数字，且，由此可知，，，，，，，，，，分别为：，，，，，，，，，，即的规律为以，，，，，五次一循环，且这五个数相加为，则的个位，且也是五次一循环，，，，的个位为，故错误；故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键．4．如图，点、、、…、在抛物线图象上，点、、、…、在y轴上，若、、…、都为等腰直角三角形（点是坐标原点），则的底边长为．  【答案】4036【分析】作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E，根据等腰直角三角形的性质设点的坐标为，求出a的值，从而得到点的坐标，然后用同样的方法依次求其他的点坐标，从而发现这些等腰直角三角形腰长的规律，最终求出结果．【详解】解：如图，作轴，轴，垂足分别为C、E，作轴，轴，垂足分别为D，F，  ∵、都是等腰直角三角形，∴，．设，则，将其代入解析式得：∴，解得：（不符合题意）或，由勾股定理得：，则，∴，过作于N，设点，可得，，又点在抛物线上，所以，∴，解得或（不合题意舍去），∴，同理可得：，，  …∴，∴的腰长为：，∴的底边长为：，故答案为4036．【点睛】本题考查点坐标找规律，解题的关键是掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．5．如图，拋物线与直线交x轴于点A，交y轴于点B．  (1)求拋物线的解析式；(2)当时，请求出y的最大值和最小值；(3)以为边作矩形，设点C的横坐标为m．当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)最大值为9，最小值为-7(3)，且【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先确定抛物线的顶点，再根据二次函数的性质结合x的范围即可解答；（3）先求出直线与抛物线的交点，再结合极值情况以及函数的图象解答即可．【详解】（1）直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为.抛物线经过，两点，解得抛物线的解析式为：；（2），顶点，，当时，，当时，；当时，.；（3）设直线交抛物线的另一点于，  ，点的坐标为，的解析式：.当时，解得（舍去），..设直线交抛物线的另一点于，同理可求的解析式：，当时，解得（舍去），，，当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；当点与点重合时，与抛物线有一个交点，此时；不与重合，．综上所述：当，且时，边与抛物线只有一个公共点．【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点以及矩形的性质等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为．  (1)求抛物线的解析式；(2)已知直线l：y＝x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求的最大值及此时点G的坐标；(3)在（2）的条件下，如图2，若点G是的中点，将绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为、点G的对应点为，将抛物线沿直线的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为，在运动过程中是否存在点和点关于△ABF的某一边所在直线对称（与不重合），若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，最大＝，此时(3)存在，、、、【分析】（1）设抛物线顶点式，代入点的坐标即可求解；（2）设，求出关于m的函数关系式是二次函数，求二次函数最值；（3）分为与关于对称三种情形，设，根据到原点距离是6及对称列出方程组，从而解得．【详解】（1）设抛物线解析式为，把，代入，得：，∴，∴；（2）设，∴∴，∴，设，∴∴，，∴，∴当时，最大，此时；（3），∴设直线的解析式为，把代入得：解得，∴直线，同理可求直线，直线，直线，若与关于对称，如图1，  ∴，在等腰中，，∴，设，∴，∴，由得，，∴或，∴或；    ②当与关于对称时，如图2，∴直线，∴，∴，∴，或（舍去）∴；③当与关于对称时，如图3，  设，∴，∵，∴∴直线的函数关系式是：，设，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴∴，∴  ，（舍去），∴；综上所述、、、【点睛】本题考查了以二次函数为背景下求二次函数的最值，结合图形的旋转、翻折（对称）、平移求满足一定条件下的点的坐标，解决问题的关键是设点的坐标，根据条件列出方程组．7．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元千克）与时间第（天）之间的函数关系为，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示．  (1)求日销售量（千克）与时间第（天）的函数表达式；(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该养殖户有日销售利润不低于2400元，该养殖户决定每天捐赠元给村里的特困户，如果共捐赠了7350元，求的值．【答案】(1)（，为整数）；(2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；(3)的值为350．【分析】（1）设日销售量与时间的函数解析式为，将、代入，得二元一次方程组，解得和的值，再代入即可；（2）设日销售利润为，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得，分两种情况讨论：①当时，②当时；（3）令，即，解一元二次方程组，求得解，得出符合题意的天数，即可得出的值．【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为将、代入，得：，解得：．∴（，为整数）；（2）解：设日销售利润为，则，①当时，，当时，有最大值2450元；②当时，，当时，有最大值2301第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；（3）解：由（2）得：当时，，令，即，解得：，即时，日销售利润不低于2400元，共有21天符合条件．（元．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合，是解题的关键．8．综合与探究如图，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为．  (1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求的坐标；(3)已知点在抛物线上，求时的点坐标；(4)已知，请直接写出能以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点坐标．【答案】(1)(2)(3)或或(4)或或【分析】（1）将，代入，即可求解；（2）连接与对称轴直线的交点为点，此时的周长最小，设直线的解析式为，由待定系数法可得直线为，当时即得点的坐标为；（3）由得，，即知，根据，有，解得或，从而可求出的坐标为：或或；（4）设，而，，，分三种情况：当、为对角线时，、的中点重合，得，解得；当、为对角线，有，解得；当、为对角线，，解得．【详解】（1）解：将，代入得：，解得，，抛物线的解析式为；（2）解：如图所示，连结与对称轴直线的交点为点，此时的周长最小，  设直线的解析式为，将，代入得：，解得，直线为，当时，，点的坐标为．（3）解：在中，令得，解得或，，，，，，解得或，当时，，解得，，或，当时，，解得，，，综上所述，的坐标为：或或；（4）解：设，，，，当、为对角线时，如图：  此时、的中点重合，，解得，，；当、为对角线，如图：  ，解得，，；当、为对角线，如图：  ，解得，，，综上所述，坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质以及平行四边形的性质，及分类讨论思想．9．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，下列结论：①；②(m为常数)．③方的两根为和．④方程(，k为常数)的所有根的和为8．其中正确的结论序号是(填写序号)．  【答案】①②④【分析】根据二次函数图象特征可判断①，根据对称轴及开口方向可判断②，将方程看作二次函数与x轴的交点，求出交点可判断③，将方程(，k为常数)的根可看作二次函数与直线和的交点及对称轴可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴在y轴右侧，∴，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故①正确，∵对称轴为直线，∴当时，y有最大值为，∴，即：，故②正确，∵对称轴为直线，图象过点∴抛物线与x轴的另一个交点为，方程可看作二次函数与x轴的交点，∵，∴，∴二次函数的对称轴为：，即抛物线向左平移4个单位，∴二次函数与x轴的交点为与，∴方程的两根为和1，故③错误，方程(，k为常数)的根可看作二次函数与直线和的交点，方程与方程的两根之和均为,则所有根的和为：∵对称轴为直线，∴所有根的和为：.∴所有根的和为8，故④正确．故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各个知识点是解决本题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．  (1)求抛物线的解析式；(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）根据题意得出点，,待定系数法求解析式即可求解；（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，进而即可求解；②根据题意得出，求得中点坐标，根据题意即可求解；③连接，过点作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，则，将代入，求得，求得，进而根据落在抛物线上，将代入，即可求解．【详解】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线∴当时，，则，当时，，则,将点，,代入抛物线，∴解得：∴抛物线的解析式为；（2）①解：∵轴交抛物线另一点为点，当时，，∴，∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上∴，整理得∵∴∴；②如图所示，  ∵,∴,∵∴，由①可得，∴,的横坐标为，分别代入，∴，∴∴的中点坐标为∵点为线段的中点，∴解得：或（大于4，舍去）③如图所示，连接，过点作于点，  则，∵∴，设点的坐标为，则，将代入，，解得：，当，∴，将代入解得