高考数学专题11 独立性检验（解析版）

专题11独立性检验例1．2019年11月5日至10日，第二届中国国际进口博览会在上海举行．某宣传媒体组织业内人士对某型号智能机器人进行评分，所得情况如图所示：（Ⅰ）试估计业内人士评分的平均数以及方差（用每个小矩形底边中点近似替代本组数据）；（Ⅱ）为了调查评分与性别是否具有相关性，研究人员随机抽取了60位参加评分的业内人士，其中男性与女性人数各一半，根据已知条件完成下面列联表，据此资料，是否有的把握认为评分的高低与性别有关？分数不低于60分低于60分合计男性1630女性1030合计60参考公式：（1），其中．（2）．参考数据：0.150.100.0500.0252.0722.7063.8415.024【解析】解：（Ⅰ）依题意，所求平均数为，方差为．（Ⅱ）由题意完善列联表如下：分数不低于60分低于60分合计男性141630女性102030合计243660，没有的把握认为评分的高低与性别有关．例2．某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为进行统计，按照，，，，，，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，，，的频数分别为16，4．（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；（Ⅱ）估计本次竞赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（Ⅲ）在选取的样本中，若男生和女生人数相同，我们规定成绩在70分以上称为“优秀”，70分以下称为“不优秀”，其中男女生中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．【解析】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，．（Ⅱ）设本次竞赛学生成绩的平均数为，则．（Ⅲ）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表：男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100，没有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”．例3．某健身馆为了宣传健身效果，吸引顾客，特别请专业的评估机构对他们500名学员的锻炼成果进行评估打分（满分100分），并且认为评分不低于80分的参与者为健身达人，得到如表：健身达人非健身达人总计男20050250女100150250总计300200500（Ⅰ）判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为健身达人与性别有关系？（Ⅱ）若500名学员中40岁以上的有100人，30岁到40岁的有300人，30岁以下的100人，先从中分层抽取5人进行抽奖活动，再从这5人中抽取两位对其进行全年免单活动，求两人全年免单都在30岁到40岁之间的概率是多少？附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．【解析】解：（Ⅰ）因为，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为健身达人与性别有关系．（Ⅱ）根据分层抽样可知在40岁以上的学员中应抽取1人，记为；在30岁到40岁的学员中应抽取3人，记为，，；在30岁以下的学员中应抽取1人，记为，则从这5人中抽取2人，所有可能情况如下：，，，，，，，，，，共10种情况，2人都在30岁到40岁之间的有，，共3种情况，所以两人全年免单都在30岁到40岁之间的概率．例4．某公司为了推广某项技术，对旗下200名员工的年龄和人数进行了统计，统计其对这项技术的接受程度，从而为后期宣传工作做准备，并绘制了如下频率分布直方图．（Ⅰ）根据如图求样本年龄的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（保留两位小数）；（Ⅱ）若将样本分为两个年龄段，年龄在区间，和，分别称为“青少年”和“中老年”，根据相关条件完成下表，并判断是否有的把握认为对新技术接受程度与年龄段有关？青少年中老年合计接受2090不接受110合计200参考公式：，其中．参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知样本年龄的平均数．设样本年龄的中位数为，由题知组距为10，，的频率为，，的频率为，所以中位数在区间，内，所以，即，所以样本年龄的平均数为44.50，中位数为38.67．（Ⅱ）由题意知，样本中的“青少年”共有（人，则“中老年”共有（人．根据频率分布直方图完成列联表如下：青少年中老年合计接受207090不接受4070110合计60140200则：，所以有的把握认为对新技术接受程度与年龄段有关．例5．“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：积极型懈怠型总计男女总计男12368女021062（Ⅰ）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（Ⅱ）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：，0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【解析】解：（Ⅰ）由题意知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为；（Ⅱ）由表中数据，填写列联表如下；积极型懈怠型总计男14620女81220总计221840计算观测值，所以没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．例6．为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间（分钟），，，，，人数525302515表2：女生上网时间与频数分布表上网时间（分钟），，，，，人数1020402010（Ⅰ）若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成表3的列联表（此表应画在答题卷上），并回答能否有的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（Ⅲ）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率．表上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生 60   女生   合计   附：，其中0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83【解析】解：（1）设估计上网时间不少于60分钟的人数，依据题意有，解得：，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人；（4分）（2）根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生6040100女生7030100合计13070200其中，因此，没有的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”；（8分）（3）因为上网时间少于60分钟与上网时间不少于60分钟的人数之比为，所以5人中上网时间少于60分钟的有3人，记为、、，上网时间不少于60分钟的有2人，记为、，从中任取两人的所有基本事件为：、、、、、、、、、共10种，其中“至少有一人上网时间超过60分钟”包含了7种，故所求的概率为．（12分）例7．某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为，女性人数为，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．Ⅰ型病Ⅱ型病合计男女合计（1）完成联表若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验．每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下；Ⅰ型病Ⅱ型病合计男女合计若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则，解得，由，且，所以的最小值为12，即男性患者至少有12人；（2）设甲研发试验品花费为，则；设乙研发试验品花费为，则的可能取值为、，所以，，所以；因为，所以；①当时，，因为，所以，所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；②当时，，因为，所以，所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；③当时，，所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均费用相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择甲团队或乙团队进行研发均可．例8．某房产中介统计了深圳市某高档小区从2018年12月至2019年11月当月在售二手房均价（单位：万元平方米）的散点图，如图所示，图中月份代码1至12分别对应2018年12月至2019年11月的相应月份．根据散点图选择和两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：残差平方和0.01485570.0048781总偏差平方和0.069193（1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2020年5月份购买深圳市福田区平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．若该小区所有住房的房产证均已满3年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：估算该购房者应支付的购房金额．（购房金额房款税费；房屋均价精确到0.01万元平方米）若该购房者拟用不超过760万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进行征收．（计税价格房款）征收方式见如表：购买首套房面积（平方米）契税（买方缴纳）的税率参考数据：，，，，，，，，参考公式：相关指数．【解析】解：（1）设模型和的相关指数分别是和，则，，，，模型的拟合效果更好．（2）2020年5月份的对应月份代码为18，由（1）知，模型的拟合效果更好，利用该模型预测可得，这个小区2020年5月份的在售二手房均价为：万元平方米，设该购房者应支付的购房金额为万元，税费中买方只需缴纳契税，①当时，契税为计税价格的，故；②当时，契税为计