考向19等差数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向19等差数列及其前n项和1.（2022年乙卷文科第13题）记为等差数列的前项和.若，则公差 ．【答案】2【解析】因为，所以，即，所以.2.（2022年北京卷第6题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.3.（2022新课标1卷第17题） 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求得通项公式；（2）证明：．【解析】（1），所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．（2）．4.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列公差为由，知，故由，知，故；故，整理得，得证．（2）由（1）知，由知：即，即，因为，故，解得故集合中元素的个数为9个．5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记为数列的前项和.已知.（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值.【答案】（1）略；（2）【解析】（1）由于，变形为，记为①式，又，记为②式，①-②可得即，所以是等差数列；（2）由题意可知，即，解得，所以，其中，则的最小值为.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列的各项为正数，记为的前项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列为等差数列；②数列为等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】见解析．【解析】一、选择条件①③已知为等差数列，，设公差为，则，即因为，则所以数列为等差数列二、选择条件①②已知为等差数列，数列为等差数列，设公差为则，若数列为等差数列，则，所以三、选择条件②③已知数列为等差数列，设公差为则，即则则，所以为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记为数列的前项和，为数列的前项积.已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）当时，，易得.当时，，代入消去得，，化简得，是以为首项，为公差的等差数列.（2）易得.由（1）可得，由可得.当时，，显然不满足该式；.8.（2021年新高考2卷第17题）记是公差不为0的等差数列的前项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知：即：故所以数列的通项公式为．（2）由（1）知又即1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法（1）定义法：如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列；（2）等差中项法：如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an+1=an+an+2，那么可以判断{an}为等差数列；（3）通项公式法：如果一个数列{an}的通项公式满足an=pn+q（p，q为常数）的形式，那么可以得出{an}是首项为p+q，公差为p的等差数列;（4）前n项和公式法:如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn=An2+Bn（A，B为常数）的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A+B，公差为2A的等差数列.1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是关于n的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则S6等于( )A．32 B．39C．42D．452．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝( )A．6B．7C．8D．93．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝( )A．18 B．16C．14D．124．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于( )A．13B．49C．35D．635.．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )A．S4＜S3B．S4＝S3C．S4＞S1D．S4＝S16.在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(a8,a2a14)＝( )A．－eq\f(3,2) B．－3C．－6D．27.已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A．100B．120C．390D．5408.已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A．10B．20C．30D．409.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值10．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( )A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12D．S20＝0【答案】AC11．已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．12．已知数列{an}与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(aeq\o\al(2,n),n)))均为等差数列(n∈N＋)，且a1＝2，则a20＝________．13．若数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.(1)求eq\f(a1＋a3,a2)的值；(2)求证：数列{an}为等差数列．14.已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,4)，其前n项和为Sn，且满足an＝eq\f(2Seq\o\al(2,n),2Sn－1)(n≥2)．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．一、单选题1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）（参考数据：）A． B． C． D．2．（2022·河北·模拟预测）有一道民间源自于《孙子算法》的题目，筐内鸡蛋若干，三三数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（    ）A．184 B．186 C．187 D．1883．（2022·上海杨浦·二模）数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（     ）A．1gd B．1g2d C．lg D．1g4．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“（）”是素数，我们称为“费马数”．设，，，数列与的前n项和分别为与，则下列不等关系一定成立的是（    ）A． B．C． D．5．（2022·陕西西安·三模（文））小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（    ）A．第23天 B．第24天 C．第25天 D．第26天6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（    ）A．成等差数列 B．成等比数列C．成等差数列 D．成等比数列8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（    ）A．189 B．252 C．324 D．405二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设，正项数列满足，下列说法正确的有（    ）A．为中的最小项B．为中的最大项C．存在，使得成等差数列D．存在，使得成等差数列10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（    ）A．和均为数列中的项B．数列为等差数列C．仅有有限个整数使得成立D．记数列的前项和为，则恒成立三、填空题11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知为单调递减的等差数列的前n项和，若数列前n项和，则下列结论中正确的有___________．（填写序号）①；②；③；④12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列满足：①，；②在区间中的项恰好比区间中的项少2项，则数列的通项公式为___________.13．（2021·浙江绍兴·三模）如图，一个幻方，要求包含到的所有整数，且每一行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在世纪中国古代数学家杨辉就作出了的幻方，那么幻方的每一行上整数之和为______.14．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列；②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差