考向27空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用

2023-11-07 · U1 上传 · 38页 · 4.3 M

考向27空间点、直线平面之间的位置关系1.(2022年甲卷理7文9)在长方体中,已知与平面和平面所成的角均为,则A. B.与平面所成的角为 C. D.与平面所成的角为【答案】D【解析】与平面即,与平面即,则,设,则,由长方体对角线长公式,得,从而,,与平面所成的角的正弦值为,,与平面所成的角的正弦值为.2.(2022年乙卷理7文9)在正方体中,E,F分别为AB,BC的中点,则A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】对于A选项:在正方体中,因为EF分别为AB,BC的中点,易知,从而平面,又因为平面,所以平面平面,所以A选项正确;对于B选项:因为平面平面,由上述过程易知平面平面不成立;对于C选项:由题意知直线与直线必相交,故平面平面有公共点,从而C选项错误;对于D选项:连接,,,易知平面平面,又因为平面与平面有公共点,故平面与平面不平行,所以D选项错误.3.(2022年新高考1卷第9题)已知正方体,则A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为 C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面所成的角为【答案】ABD【解析】在正方体中,因为,,所以平面,所以,,故选项A,B均正确;设,因为平面,所以直线与平面所成的角为,在直角中,,故,故选项C错误;直线与平面所成的角为,故选项D正确.综上,答案选ABD.(1)证明点或线共面:①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.(3)证明线共点:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.(3)求异面直线所成角=1\*GB3\*MERGEFORMAT①平移法:常见三种平移方法:直接平移:中位线平移(尤其是图中出现了中点):补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。=2\*GB3\*MERGEFORMAT②利用模型求异面直线所成的角已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1,平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ,与它的射影a′所成的角为θ2。求证:cosθ=cosθ1·cosθ2。=3\*GB3\*MERGEFORMAT③向量法求异面直线所成的角 1.公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线即不平行,也不相交.2.在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”.一、单选题1.正方体中,点在棱上,过点作平面的平行平面,记平面与平面的交线为,则与所成角的大小为(    )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为平面平面,平面平面,平面平面,则;在正方体中,易证平面,故,所以,即与所成角的大小为.故选:.2.如图,直三棱柱中,,若,则异面直线所成角的大小是(    )A. B. C. D.【解析】如图所示,连接,即为异面直线所成角,又,在中,是正三角形故选:C3.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列命题:①若,则②若,则③若,则④若,则其中为真命题的是(    )A.①② B.②③ C.③④ D.①④【答案】C【解析】①中,,则平面与平面可能平行,可能相交也可能垂直,故①错误;②中,,直线与直线可能平行,异面或者垂直,故②错误;③中,,则,故,故③正确;④中,,则,故④正确.故选:C.4.如图,已知分别是正方体所在棱的中点,则下列直线中与直线相交的是(    ).A.直线 B.直线C.直线 D.直线.【答案】A【解析】如图,易知,所以,且,所以为梯形,故与EF相交,A正确;因为,所以,故B错误;因为平面CDH平面EFNL,平面CDH,平面EFNL,所以直线CD与直线EF无公共点,故C错误;因为平面ADF,平面,故AD与EF异面,D错误.故选:A5.已知正方体中,E,G分别为,的中点,则直线,CE所成角的余弦值为(    )A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示:取AB的中点F,连接EF,CF,易知,则∠ECF(或其补角)为直线与CE所成角.不妨设,则,,,由余弦定理得,即直线与CE所成角的余弦值为.故选:C.6.已知是两条不同的直线,是平面,且,则(    )A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】D【解析】依题意,A选项,若,则可能,所以A选项错误.B选项,若,则与可能相交、异面、平行,所以B选项错误.C选项,若,则可能,所以C选项错误.D选项,由于,所以平面内存在直线,满足,若,则,则,所以D选项正确.故选:D7.如图正方体中,分别为棱的中点,连接.空间任意两点,若线段上不存在点在线段上,则称两点可视,则下列选项中与点可视的为(    )A.点P B.点B C.点R D.点Q【答案】D【解析】如图连接,因为分别为的中点,所以,∥,所以四边形为平行四边形,所以∥,因为∥,所以∥,所以四点共面,所以与相交,所以点与点不可视,所以排除A,因为∥,所以共面,所以由图可知与相交,与相交,所以点,点都与点不可视,所以排除BC,故选:D8.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β【答案】B【解析】对于A,若l∥α,l∥β,则α,β可能相交,故错误;对于B,若l∥α,l⊥β,根据线面平行的性质定理可知,α内一定存在和l平行的直线m,则m也垂直于β,由线面垂直的判定定理可知α⊥β,故B正确;对于C,若α⊥β,l⊥α,则l可能在β内,故错误;对于D,若α⊥β,l∥α,则l可能和β平行,故错误,故选:B二、多选题9.已知空间中是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题不正确的是(    )A.B.C.与异面D.【答案】BCD【解析】A:由垂直于同一平面的两直线平行,可知A正确;B:由,可得或者,故B错误;C:由,,可得与异面或,故C错误;D:由,,,当时,不能得到,只有当时,才可以得到,故D错误.故选:BCD10.如图,若为正六棱台,,,则下列说法正确的是(    )A.B.平面C.平面D.侧棱与底面所成的角为【答案】BCD【解析】对于A选项,因为与平行,与异面,故A错误;对于B选项,连接,,因为六棱台是正六棱台,所以平面,平面,故,又因为底面是正六边形,所以,平面,平面,所以平面,即平面,故B正确;对于C选项,设与交于点,因为,,所以,,又,所以,即,又,所以是平行四边形,,平面,平面,所以平面,故C正确;对于D选项,平面,平面为侧棱与底面所成的角,在中,,所以,故D正确.故选:BCD三、填空题11.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】【解析】如图所示,设分别为和的中点,可得,,且,所以异面直线与所成角即为直线与所成的角,作的中点为,则为直角三角形,因为,在中,由余弦定理可得,所以,所以,在中,,在中,可得,又因为异面直线所成角的范围是,所以与所成的角的余弦值为.故答案为:.12.已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,为的中点,若,则侧面四边形为正方形,则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】【解析】如图所示,取的中点,连接,,则,则为异面直线与所成的角(或补角),因为是边长为2的等边三角形,所以,又因为,所以,则,,又由四边形为正方形,所以,所以.故答案为:.13.在矩形ABCD中,,点E为CD的中点(如图1),沿AE将△折起到△处,使得平面平面ABCE(如图2),则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.【答案】【解析】取的中点,连接,,∵且为的中点,∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,则直线PC与平面ABCE所成角为,即,所以.故答案为:.14.正方体的棱长为,,,分别为,,的中点,给出下列四个命题:①上底边的中点在平面内②直线与平面不平行③平面截正方体所得的截面面积为④点与点到平面的距离相等.错误的命题是________.【答案】①②④【解析】在①中,如图所示,连接,,延长,交于点,因为,为,的中点,所以,,所以,所以,,,四点共面,所以截面即为梯形,所以上底边的中点不在平面内,故①错误;在②中,如图所示,取的中点,连接,,由条件可知,,且,,所以平面平面,又因为平面,所以平面,故②错误;在③中,由①可知,因为,,所以,所以,故③正确;在④中,记点与点到平面的距离分别为,,因为,所以,又因为,所以,故④错误.故答案为:①②④.一、单选题1.(2022·浙江·模拟预测)现有边长为的正四面体,其中点M为的重心,点N,H分别为,中点.下列说法正确的有(    )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵正四面体,点M为的重心,∴M为等边的中心,∴面,面,∴.直线与交于点A,故AN不与DM垂直,故排除A;延长DM交BC于点G,则G为BC中点,连接AG,如图所示,边长为,在中可得,由,,,.故B正确,C错误;在中,H,M分别为NA,NG的中点,∴,又∵,∴HM不与AB平行,故D错误.故选:B.2.(2022·上海静安·二模)在下列判断两个平面与平行的4个命题中,真命题的个数是(    ).(1)、都垂直于平面r,那么∥.(2)、都平行于平面r,那么∥.(3)、都垂直于直线l,那么∥.(4)如果l、m是两条异面直线,且∥,∥,∥,∥,那么∥A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由面面平行的判定定理分析可知(1)错,(2),(3),(4)正确.故选:D3.(2022·浙江嘉兴·二模)如图,已知正方体的棱长为,则下列结论中正确的是(    )①若是直线上的动点,则平面②若是直线上的动点,则三棱锥的体积为定值③平面与平面所成的锐二面角的大小为④若是直线上的动点,则A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】对于①,连接,,,四边形为平行四边形,,又平面,平面,平面,同理可得:平面,,平面,平面平面,若是直线上的动点,则平面,平面,①正确;对于②,由①知,平面,,②正确;对于③,连接,交于点,连接,平面平面,平面与平面所成的锐二面角即为平面与平面所成的锐二面角,四边形为正方形,,为中点,又,,即为平面与平面所成的锐二面角的平面角,,,即平面与平面所成的锐二面角不为,③错误;对于④,四边形为正方形,,平面,平面,,又,平面,平面;若是直线上的动点,则平面,,④正确.故选:C.4.(2022·山东潍坊·三模)我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论,其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥.若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上,且该“鳖臑”的高为,底面是腰长为的等腰直角三角形.则球的表面积为(    )A. B. C. D.【答案】A【解析】如下图所示:在三棱锥中,平面,且,,因为平面,、、平面,则,,,,,平面,平面,,所以,三棱锥的四个面都是直角三角形,且,,设线段的中点为,则,所以,点为三棱锥的外接球球心,设球的半径为,则,因此,球的表面积为.故选:A.5.(2022·河南·模拟预测(文))手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示,,,P,Q,M,N分别是棱AB,,,的中点,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是(   

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