考向27空间点、直线、平面之间的位置关系（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用

考向27空间点、直线、平面之间的位置关系1.（2022年甲卷理7文9）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则A． B．与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为【答案】D【解析】与平面即，与平面即，则，设，则，由长方体对角线长公式，得，从而，，与平面所成的角的正弦值为，，与平面所成的角的正弦值为．2.（2022年乙卷理7文9）在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】对于A选项：在正方体中，因为EF分别为AB，BC的中点，易知，从而平面，又因为平面，所以平面平面，所以A选项正确；对于B选项：因为平面平面,由上述过程易知平面平面不成立；对于C选项：由题意知直线与直线必相交，故平面平面有公共点，从而C选项错误；对于D选项：连接，，，易知平面平面，又因为平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，所以D选项错误.3.（2022年新高考1卷第9题）已知正方体，则A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为【答案】ABD【解析】在正方体中，因为，，所以平面，所以，，故选项A，B均正确；设，因为平面，所以直线与平面所成的角为，在直角中，，故，故选项C错误；直线与平面所成的角为，故选项D正确．综上，答案选ABD．(1)证明点或线共面：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．（3）求异面直线所成角=1\*GB3\*MERGEFORMAT①平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。=2\*GB3\*MERGEFORMAT②利用模型求异面直线所成的角已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ=cosθ1·cosθ2。=3\*GB3\*MERGEFORMAT③向量法求异面直线所成的角 1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．2．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．一、单选题1．正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（    ）A． B． C． D．2．如图，直三棱柱中，，若，则异面直线所成角的大小是（    ）A． B． C． D．3．设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中为真命题的是（    ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ）．A．直线 B．直线C．直线 D．直线．5．已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．6．已知是两条不同的直线，是平面，且，则（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则7．如图正方体中，分别为棱的中点，连接.空间任意两点，若线段上不存在点在线段上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（    ）A．点P B．点B C．点R D．点Q8．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β二、多选题9．已知空间中是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（    ）A．B．C．与异面D．10．如图，若为正六棱台，，，则下列说法正确的是（    ）A．B．平面C．平面D．侧棱与底面所成的角为三、填空题11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．12．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，若，则侧面四边形为正方形，则异面直线与所成角的余弦值为___________.13．在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.14．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，给出下列四个命题：①上底边的中点在平面内②直线与平面不平行③平面截正方体所得的截面面积为④点与点到平面的距离相等．错误的命题是________．一、单选题1．（2022·浙江·模拟预测）现有边长为的正四面体，其中点M为的重心，点N，H分别为，中点．下列说法正确的有（    ）A． B． C． D．2．（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）.（1）、都垂直于平面r，那么∥.（2）、都平行于平面r，那么∥.（3）、都垂直于直线l，那么∥.（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，已知正方体的棱长为，则下列结论中正确的是（    ）①若是直线上的动点，则平面②若是直线上的动点，则三棱锥的体积为定值③平面与平面所成的锐二面角的大小为④若是直线上的动点，则A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（    ）A． B． C． D．5．（2022·河南·模拟预测（文））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．6．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知正方体为对角线上一点（不与点重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论不正确的是（    ）A．只可能为三角形或六边形B．平面与平面的夹角为定值C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大7．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在四面体ABCD中，，平面BCD，.过点B作垂直于平面ACD的平面截该四面体，若截面面积存在最大值，则的最大值为（    ）A． B． C． D．8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（    ）A．B．C．D．二、多选题9．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体中，O为线段的中点（图中未标出），以下说法正确的有（    ）．A．线段CD中点为E，则直线OE与平面所成角的正弦值为．B．在线段上取靠近B点的三等分点F，则直线与直线不共面．C．在平面上存在一动点P，满足，则P点轨迹为一椭圆．D．在平面上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相等，则点Q的轨迹为抛物线，其准线到焦点的距离为．10．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知点为正方体的棱的中点，过的平面截正方体，，下列说法正确的是（    ）A．若与地面所成角的正切值为，则截面为正六边形或正三角形B．与地面所成角为则截面不可能为六边形C．若截面为正三角形时，三棱锥的外接球的半径为D．若截面为四边形，则截面与平面所成角的余弦值的最小值为三、填空题11．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知A，B两点在球O的球面上，过直线AB的两个平面所成的锐二面角为60°，两平面与球面的交线分别为圆C和圆D，圆C的半径为1，圆D的半径为2，且AB是圆C的一条直径，则该球的半径为______．12．（2022·广东广州·三模）讲一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA､PB､PC组成，它们两两成60°角.则水晶球的球心到支架P的距离是___________.13．（2022·广东·一模）如图为四棱锥的侧面展开图（点，重合为点），其中，，是线段的中点，请写出四棱锥中一对一定相互垂直的异面直线：__________.（填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）14．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））在棱长为的正方体中，分别为的中点，为正方体棱上一动点.下列说法中所有正确的序号是___________①在上运动时，存在某个位置，使得与所成角为；②在上运动时，与所成角的最大正弦值为；③在上运动且时，过三点的平面截正方体所得多边形的周长为；④在上运动时（不与重合），若点在同一球面上，则该球表面积最大值为.1．（2021·全国高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A． B．C． D．2．（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则 A．，且直线，是相交直线 B．，且直线，是相交直线 C．，且直线，是异面直线 D．，且直线，是异面直线3．（2019•新课标Ⅱ，理7文7）设，为两个平面，则的充要条件是 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面4．（2017•新课标Ⅰ，文6）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是 A． B． C． D．5．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2017•新课标Ⅲ，文10）在正方体中，为棱的中点，则 A． B． C． D．7．（2015福建）若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（2019•新课标Ⅰ，文16）已知，为平面外一点，，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为 ．9．（2016•新课标Ⅱ，理14），是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题：①如果，，，那么．②如果，，那么．③如果，，那么．④如果，，那么与所成的角和与所成的角相等．其中正确的命题是 （填序号）10．（2019北京理12）已知l，m是平面a外的两条不同直线．给出下列三个论断：①；②；③以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______．1．【答案】D【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面，则；在正方体中，易证平面，故，所以，即与所成角的大小为.故选:.2．【解析】如图所示，连接,即为异面直线所成角，又，在中，是正三角形故选：C3．【答案】C【解析】①中，，则平面与平面可能平行，可能相交也可能垂直，故①错误；②中，，直线与直线可能平行，异面或者垂