考向28利用空间向量求空间角（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向28利用空间向量求空间角1.（2022年甲卷理科第18题）在四棱锥中，底面，，，，．（1）证明：；（2）求与平面的所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵底面，∴，取中点，连接，可知，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵，∴为直角三角形，为斜边，∴，∵，∴平面，∴.（2）由（1）知，，，两两垂直，，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，不妨设，则，设与平面的所成角为，则，∴与平面的所成的角的正弦值为.2.（2022年乙卷理科第18题）如图，四面体中为中点.证明：平面平面；设点在上，当的面积最小时，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）..,.平面平面.(2)在中，.在中，,,..、、两两互相垂直.由点在上且，由于当的面积最小时在中，如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.、、、、、、=设平面的法向量为.可得设设与所成的角为，与平面所成角的为所以与平面所成角的正弦值为.3.（2022年新高考1卷）19．（12分）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．求到平面的距离；设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设到平面的距离为，，，所以，所以，所以到平面的距离为．(2)取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面,，则，所以，因为直三棱柱，所以，因为，所以平面，所以，由，所以，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，平面BDC的法向量设为，平面BDA的法向量设为，，，，所以，所以，设，则，所以，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为．4.（2022年新高考2卷）如图，是三棱锥的高，，，是的中点，（1）求证：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）法一：连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，所以，又，，所以，所以，作中点，连接、，则有，又，所以，又因为平面，平面，所以平面，又、分别为、的中点，所以，在中，又因为平面，平面，所以平面，又、平面，，所以平面平面，又平面，所以平面；法二：（1）连接、,因为是三棱锥的高，所以平面，所以,，所以,又,,所以,所以,又,在中，为中点，延长,交于，连接,所以在中，、分别为、的中点，所以,因为平面,平面,所以平面；（2）法一：过点作，以为轴，为轴，为轴．建立如图所示的空间直角坐标系．因为，，由（1），又，所以，，所以，，，，设，则，平面的法向量设为，直线的方向向量可设为，直线平面，直线的方向向量为，所以，所以，设，则，所以；平面的法向量设为，，，所以，所以，设，则，所以；所以二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为法二：（2）过点作,以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为,,由（1）,又，所以,,所以,,,,设，则，平面的法向量设为，，，所以，所以，设，则，所以；平面的法向量设为，，,所以，所以，设，则，所以；所以二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为。1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：（1）选好基底或建立空间直角坐标系；（2）求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解.2.利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3.利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.一、单选题1．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．2．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形，将平行四边形沿对角线折起，使平面平面，则直线与所成角余弦值为（    ）A． B． C． D．3．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．4．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．5．在三棱锥中，平面ABC，，是正三角形，M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．6．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．二、填空题7．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的余弦值是________________.8．在正方体中，点、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____.9．如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为__________10．已知正四面体和平面，，正四面体绕边旋转，当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为______三、解答题11．如图，在五面体中，平面平面，.(1)求棱的长度；(2)求与平面所成角的正弦值.12．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．(1)求证：；(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．13．如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．14．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；(2)求图2中二面角的平面角的余弦值．一、单选题1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知正方体的棱长为.以为坐标原点，以为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系，动点满足直线与所成夹角为的最大值为（    ）A． B． C．1 D．22．（2022·吉林长春·模拟预测（理））在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（    ）A． B．C． D．3．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（    ）A． B． C． D．4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥的高是底面上圆的直径，，是圆上的动点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（    ）A． B． C． D．15．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．6．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）如图，在正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（    ）A．直线与直线相交B．当为棱上的中点时，则点在平面的射影是点C．存在点，使得直线与直线所成角为D．三棱锥的体积为定值二、填空题7．（2021·河南·三模（理））如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________．8．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.9．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．10．（2021·新疆乌鲁木齐·三模（文））如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且则下列结论：则下列结论：①；②当时，与相交；③始终与平面平行；④异面直线与所成的角为正确的序号是___________.三、解答题11．（2022·广西河池·模拟预测（理））如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，，E是PB上任意一点．(1)求证：；(2)已知二面角的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．12．（2022·湖南永州·一模）如图甲，在边长为4的等边三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点.(1)求证：；(2)当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值.13．（2018·陕西·安康市教学研究室三模（理））如图，直三棱柱中，，D、E在线段上，且，过作与平行的平面交于点F．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．14．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知梯形ABCD和矩形CDEF.在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，M为AE的中点.(1)设N是BC的中点，求证：平面CDEF；(2)在翻折的过程中，当二面角A－CD－E的大小为时，求直线BM与平面BCE所成角的正弦值.1.【2021年乙卷】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．2.【2021年甲卷】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?3.【2021年浙江卷】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.4.（2020·新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．5.（2020·山东卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．6.（2020·天津卷）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．7.（2020·江苏卷）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．一、单选题1．【答案】C【解析】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．【答案】C【解析】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以，又