考向19等差数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向19等差数列及其前n项和1.（2022年乙卷文科第13题）记为等差数列的前项和.若，则公差 ．【答案】2【解析】因为，所以，即，所以.2.（2022年北京卷第6题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.3.（2022新课标1卷第17题） 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求得通项公式；（2）证明：．【解析】（1），所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．当时，，所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为．（2）．4.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列公差为由，知，故由，知，故；故，整理得，得证．（2）由（1）知，由知：即，即，因为，故，解得故集合中元素的个数为9个．5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记为数列的前项和.已知.（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值.【答案】（1）略；（2）【解析】（1）由于，变形为，记为①式，又，记为②式，①-②可得即，所以是等差数列；（2）由题意可知，即，解得，所以，其中，则的最小值为.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列的各项为正数，记为的前项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列为等差数列；②数列为等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】见解析．【解析】一、选择条件①③已知为等差数列，，设公差为，则，即因为，则所以数列为等差数列二、选择条件①②已知为等差数列，数列为等差数列，设公差为则，若数列为等差数列，则，所以三、选择条件②③已知数列为等差数列，设公差为则，即则则，所以为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记为数列的前项和，为数列的前项积.已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）当时，，易得.当时，，代入消去得，，化简得，是以为首项，为公差的等差数列.（2）易得.由（1）可得，由可得.当时，，显然不满足该式；.8.（2021年新高考2卷第17题）记是公差不为0的等差数列的前项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知：即：故所以数列的通项公式为．（2）由（1）知又即1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法（1）定义法：如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列；（2）等差中项法：如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an+1=an+an+2，那么可以判断{an}为等差数列；（3）通项公式法：如果一个数列{an}的通项公式满足an=pn+q（p，q为常数）的形式，那么可以得出{an}是首项为p+q，公差为p的等差数列;（4）前n项和公式法:如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn=An2+Bn（A，B为常数）的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A+B，公差为2A的等差数列.1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是关于n的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为eq\f(S2n－1,T2n－1)＝eq\f(an,bn).1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则S6等于( )A．32 B．39C．42D．45【答案】B【解析】设公差为d，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,4a1＋\f(4×3,2)d＝14，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝3，))所以S6＝6a1＋eq\f(5×6,2)d＝39.2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝( )A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】因为d＝eq\f(a3－a1,2)＝2，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝( )A．18 B．16C．14D．12【答案】C【解析】设{an}的公差为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋5a1＋\f(5×4,2)d＝2，,7a1＋\f(7×6,2)d＝14))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6a1＋13d＝2，,a1＋3d＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝2，))所以a10＝－4＋9×2＝14，选C.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于( )A．13B．49C．35D．63【答案】B【解析】由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，依题意得，d＝eq\f(a6－a2,6－2)＝eq\f(11－3,4)＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝eq\f(a1＋a7,2)×7＝eq\f(1＋13,2)×7＝49.5．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )A．S4＜S3B．S4＝S3C．S4＞S1D．S4＝S1【答案】B【解析】数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，设等差数列{an}的公差为d.因为a2＝－6，a6＝6，所以4d＝a6－a2＝12，即d＝3.所以an＝－6＋3(n－2)＝3n－12，所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S4＜S1，S3＝S4.6.在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(a8,a2a14)＝( )A．－eq\f(3,2) B．－3C．－6D．2【答案】A【解析】因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则eq\f(a8,a2a14)＝eq\f(－3,2)，故选A.7.已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A．100B．120C．390D．540【答案】A【解析】设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.8.已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】设等差数列{an}的公差为d，项数为n，前n项和为Sn，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝eq\f(n,2)d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.9.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为Sn的最大值【答案】ABD【解析】S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．从而ABD均正确．10．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有( )A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12D．S20＝0【答案】AC【解析】根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d，又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a10＝0，故A一定正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝－9nd＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(d,2)×(n2－19n)，则有S7＝S12，故C一定正确；则S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝－180d＋190d＝10d，因为d≠0，所以S20≠0，则D不正确．11．已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．【答案】16【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)·(a1＋4d)＋a1＋7d＝aeq\o\al(2,1)＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.12．已知数列{an}与eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(aeq\o\al(2,n),n)))均为等差数列(n∈N＋)，且a1＝2，则a20＝________．【答案】40【解析】设an＝2＋(n－1)d，所以eq\f(aeq\o\al(2,n),n)＝eq\f([2＋（n－1）d]2,n)＝eq\f(d2n2＋（4d－2d2）n＋（d－2）2,n)，由于eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a