考向08函数与方程1．（2022年北京卷第14题）设函数，若存在最小值，则的一个取值为，的最大值为________．【答案】（答案不唯一），1【解析】由题意知，函数最值于函数单调性相关，故可考虑以为分界点研究函数的性质，当时，，该段的值域为，故整个函数没有最小值；当时，该段值域为，而的值域为，故此时的值域为，即存在最小值为，故第一个空可填写；当时，，该段的值域为，而的值域为，若存在最小值，则需满足，于是可得；当时，，该段的值域为，而的值域为，若存在最小值，则需满足，此不等式无解。综上，的取值范围是，故的最大值为1.2．（2022年浙江卷第14题）已知，则；若当时，，则的最大值为．【答案】【解析】由题可知：，所以．当时，令，解得；当时，令，解得．所以的解集为．所以的最大值为．3．（2022年天津卷第15题）定义函数代表与中较小的数，若至少有个零点，求的取值范围____________【答案】【解析】设在上的零点才会成为的零点，只有在时才会成为的零点，至少有个零点有以下三种情况：①且在上有两个零点，转化为与的交点②且在上有两个零点③且在上至少有一个零点，综上所述：的取值范围是1.判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 2.根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．3.利用函数零点位置的对称性求和（1）将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题；（2）①如果两个函数图像都关于直线x=a对称，那么这两2个函数图像的交点也关于直线x=a对称，则对应的两零点之和为2a。②如果两个函数图像都关于点（a，0）对称，那么这两个函数图像的交点也关于点（a，0）对称，则对应的两零点之和为2a。有关函数零点的三个结论1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．【易错点1】函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．【易错点2】函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．1．函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致范围是( )A．(1，2) B．(2，3)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3，4)D．(4，＋∞)【答案】B【解析】选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－eq\f(2,3)＞0，得f(2)·f(3)＜0.2.函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】 B【解析】 方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.3．已知实数a>1，01，00，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．4．设函数f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，则函数y＝f(x)( )A．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点B．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点C．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】选D.令f(x)＝0得eq\f(1,3)x＝lnx，作出函数y＝eq\f(1,3)x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点．5.函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为( )A．3B．2C．1D．0【答案】 B【解析】 方法一(方程法)：由f(x)＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )A．0B．1C．2D．3【答案】 C【解析】选C.令f(x)＋3x＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2x＋3x＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,1＋\f(1,x)＋3x＝0，))解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.7．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(1－x2)，|x|≤1，,|x|，|x|>1，))若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足( )A．a＝1B．a>1C．0≤a<1D．a<0【答案】 A【解析】方程f(x)＝a有且只有一个实数根，即直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A.8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．【答案】[－1，＋∞)【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.9．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(0，1]【解析】当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以0t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．一、单选题1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（ ）A．若函数的定义域为，则的定义域为B．若正三角形的边长为，则C．已知函数，则函数的零点为D．“”是“”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对于A选项，若函数的定义域为，对于函数，则有，解得，即函数的定义域为，A错；对于B选项，若正三角形的边长为，则，B错；对于C选项，已知函数，令，解得，所以，函数的零点为，C错；对于D选项，若，则、无意义，即“”“”；若，可取，，则，即“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，D对.故选：D.2．（2021·河南·模拟预测（理））已知是方程的解，是方程的解，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，令，则有，因为与互为反函数，图象关于对称.依题意可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，所以，所以，即.故选：C.3．（2022·北京西城·一模）如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（ ）A．在区间上是增函数B．恰有个零点C．的最小值为D．的图象关于点中心对称【答案】B【解析】由题意得：，所以，由得，令，则，因为在上递减，在上递增，所以在区间上是减函数，故A错误；令，得或，解得或，故B正确；因为，所以的最小值为，故C错误；因为，关于对称，是轴对称图形，所以不可能关于点中心对称，故D错误；故选：B4．（2021·四川·成都七中三模（理））已知函数，下列对于函数性质的描述，错误的是（ ）A．是的极小值点B．的图象关于点对称C．有且仅有三个零点D．若区间上递增，则的最大值为【答案】D【解析】.A：，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是的极小值点，故本选项描述正确；B：因为，所以的图象关于点对称，因此本选项描述正确；C：令，函数在同一直角坐标系内的图象如下图所示：通过图象可知两个函数的图象有三个交点，因此有且仅有三个零点，所以本选项描述正确；D：，当时，则有：，因此函数的增区间为：，显然有，所以的最大值为，因此本选项描述不正确，故选：D5．（2021·浙江绍兴·二模）已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【解析】，若，则或，若，则；①当时，与一定是函数的零点，满足题意；②当时，可能的零点是与，因为至少存在两个零点，所以，而，所以.故选：B.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：