考向22不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知，，，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，，则，所以，因此，在上递减，所以，即．另一方面，，显然时，，所以，即．因此．2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知，，，则()A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得．根据，的形式构造函数()，则，令，解得，由知．在上单调递增，所以，即，又因为，所以，答案选A．3．（2022年新高考1卷第7题）设，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，，，；，所以，所以，所以②，，令，所以，所以，所以，所以，所以．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意，则 A． B． C． D．【答案】BC【解析】由得令故，故错，对；(其中)，故对，错.5.（2022年北京卷第11题）函数的定义域是_________．【答案】【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：6.（2022年乙卷理科第14题）已知和分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是___________【答案】【解析】至少要有两个零点和，我们对其求导，，若，则在R上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，则，不符合题意。若，则在R上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，且。此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，且，则需满足，即，可解得或，由于，取交集即得。技巧一：加上一个数或减去一个数使和或积为定值技巧二：平方后再使用基本不等式----一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．技巧三：展开后求最值----对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．技巧四：形如eq\f(f（x）,g（x）)型函数变形后使用基本不等式-----若y＝eq\f(f（x）,g（x）)中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．技巧五：用“1”的代换法求最值技巧六：代换减元求最值技巧七：比较两个数(式)大小的方法有作差法、作商法、构造函数法1．倒数性质(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)a<0b>0，d>c>0⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).2．有关分数的性质若a>b>0，m>0，则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；2．求范围乱用不等式的加法原理致错．3．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．1．若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为( )A．pqD．p≥q【答案】B【解析】(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(（b2－a2）（b－a）,ab)＝eq\f(（b－a）2（b＋a）,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故pb>0，c0B.eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)【答案】D【解析】因为cac，又因为cd>0，所以eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d).4．已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，则x＋y的最小值为( )A．12B．16C．20D．24【答案】B【解析】由题意知x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋9≥1＋2eq\r(\f(y,x)×\f(9x,y))＋9＝16，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1,\f(y,x)＝\f(9x,y)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝12))时取等号，故选B.5.已知函数y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝( )A．9 B．7C．5D．3【答案】B【解析】因为x>－1，所以x＋1>0，所以y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5≥2eq\r(x＋1·\f(9,x＋1))－5＝1，当且仅当x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2时取等号，所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7.6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )A．0B．eq\f(9,8)C．2D．eq\f(9,4)【答案】C【解析】z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时eq\f(z,xy)取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2－y,2)))eq\s\up12(2)＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.7．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有( )A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋dB．若a>b，c>d，则b－c>a－dC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，c>0，则ac>bc【答案】AD【解析】因为a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；因为a>b，c>0，所以ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.8．(多选)给出下面四个推断，其中正确的为( )A．若a，b∈(0，＋∞)，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B．若x，y∈(0，＋∞)，则lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若a∈R，a≠0，则eq\f(4,a)＋a≥4D．若x，y∈R，xy<0，则eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≤－2【答案】AD【解析】对于A项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时取等号，故A项正确；对于B项，当x，y∈(0，1)时，lgx，lgy∈(－∞，0)，此时lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)显然不成立，故B项错误；对于C项，当a<0时，eq\f(4,a)＋a≥4显然不成立，故C项错误；对于D项，若x，y∈R，xy<0，则－eq\f(y,x)>0，－eq\f(x,y)>0，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2，当且仅当－eq\f(x,y)＝－eq\f(y,x)，即x＝－y时取等号，故D项正确．故选AD.9．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是________．【答案】(－π，0)【解析】由－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0.10.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))的最小值为________．【答案】9【解析】 eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,b)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，取等号．11.已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则eq\f(3,ab)的最小值为________．【答案】eq\f(3,2)【解析】因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以eq\f(3,ab)＝eq\f(6,2ab)≥eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))\s\up