考向22不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知，，，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，，则，所以，因此，在上递减，所以，即．另一方面，，显然时，，所以，即．因此．2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知，，，则()A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得．根据，的形式构造函数()，则，令，解得，由知．在上单调递增，所以，即，又因为，所以，答案选A．3．（2022年新高考1卷第7题）设，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】令，，，，；，所以，所以，所以②，，令，所以，所以，所以，所以，所以．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意，则 A． B． C． D．【答案】BC【解析】由得令故，故错，对；(其中)，故对，错.5.（2022年北京卷第11题）函数的定义域是_________．【答案】【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：6.（2022年乙卷理科第14题）已知和分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是___________【答案】【解析】至少要有两个零点和，我们对其求导，，若，则在R上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，则，不符合题意。若，则在R上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，且。此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，且，则需满足，即，可解得或，由于，取交集即得。技巧一：加上一个数或减去一个数使和或积为定值技巧二：平方后再使用基本不等式----一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．技巧三：展开后求最值----对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．技巧四：形如eq\f(f（x）,g（x）)型函数变形后使用基本不等式-----若y＝eq\f(f（x）,g（x）)中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．技巧五：用“1”的代换法求最值技巧六：代换减元求最值技巧七：比较两个数(式)大小的方法有作差法、作商法、构造函数法1．倒数性质(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)a<0b>0，d>c>0⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).2．有关分数的性质若a>b>0，m>0，则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；2．求范围乱用不等式的加法原理致错．3．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．1．若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为( )A．pqD．p≥q2．若6b>0，c0B.eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)4．已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，则x＋y的最小值为( )A．12B．16C．20D．245.已知函数y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝( )A．9 B．7C．5D．36．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )A．0B．eq\f(9,8)C．2D．eq\f(9,4)7．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有( )A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋dB．若a>b，c>d，则b－c>a－dC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，c>0，则ac>bc8．(多选)给出下面四个推断，其中正确的为( )A．若a，b∈(0，＋∞)，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B．若x，y∈(0，＋∞)，则lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若a∈R，a≠0，则eq\f(4,a)＋a≥4D．若x，y∈R，xy<0，则eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≤－29．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是________．10.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))的最小值为________．11.已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则eq\f(3,ab)的最小值为________．12．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．一、单选题1．（2022·浙江浙江·二模）已知，，且，则下列结论正确的个数是（ ）①的最小值是4； ②恒成立；③恒成立； ④的最大值是．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·江西·二模（理））已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·北京市育英学校模拟预测）设，则下列不等式中正确的是A． B．C． D．4．（2021·全国·模拟预测）已知，，则下列结论正确的是（ ）A． B．的最小值为C． D．5．（2021·浙江·二模）已知等差数列，正整数，，，满足，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．以上均不正确6．（2021·四川达州·二模（理））已知是圆上的点，下列结论正确的是（ ）A． B．最大值是C． D．二、多选题7．（2022·江苏南京·三模）设，a∈R，则下列说法正确的是（ ）A．B．“a＞1”是“”的充分不必要条件C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件D．a∈（3，＋∞），使得P＜38．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( )A．“”是“”的充分不必要条件B．C．已知在前n项和为Sn的等差数列{}中，若，则D．已知，则的最小值为8三、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．10．（2021·河南·模拟预测（文））已知关于的方程有两个实根，，则下列不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）①； ②③； ④.1．（2020全国I理14）若，则 （）A． B． C． D．2．（2020天津6）设，则的大小关系为()A． B． C． D．3．（2019•新课标Ⅱ，理6）若，则 A． B． C． D．4．（2016•新课标Ⅰ，理8）若，，则 A． B． C． D．5．（2016•新课标Ⅰ，文8）若，，则 A． B． C． D．6．（2017山东）若，且，则下列不等式成立的是A．B．C．D．7．(2016年北京)已知，且，则A．B．C．D．8．（2014山东）若，，则一定有（）A．B．C．D．9．（2014四川）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是A．B．C．D．10．（2014辽宁）已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有．若对所有，恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．11．（2020全国3文12）已知函数，则()A．的最小值为2 B．的图像关于轴对称C．的图像关于直线对称 D．的图像关于直线对称12．（多选）（2020山东11）已知，，且，则 （）A．B．C．D．13．（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （）A．B．C．D．14．（2013四川）已知函数在时取得最小值，则__．15．（2015陕西）设，，若，，，则下列关系式中正确的是A．B．C．D．16．（2015北京）设是等差数列．下列结论中正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则17．（2020江苏12）已知，则的最小值是．18．（2020天津14）已知，且，则的最小值为_________．19．（2019天津理13）设，则的最小值为．20．(2018天津)已知，且，则的最小值为．21．(2017北京)已知，，且，则的取值范围是_______．22．（2017天津）若，，则的最小值为___________．23．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是．24．（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是．1．【答案】B【解析】(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(（b2－a2）（b－a）,ab)＝eq\f(（b－a）2（b＋a）,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故pac，又因为cd>0，所以eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d).4．【答案】B【解析】由题意知x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)＋9≥1＋2eq\r(\f(y,x)×\f(9x,y))＋9＝16，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,y>0,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1,\f(y,x)＝\f(9x,y)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\a