考向18平面向量的数量积及应用举例1.(2022甲卷理第13题)设向量,的夹角的余弦值为,且,,则 .【答案】【解析】.2.(2022甲卷文科第13题)已知向量,,若,则________.【答案】【解析】由,得,解得.3.(2022乙卷理科第3题)已知向量满足,,,则B.C.D.【答案】C【解析】由题设,,得,代入,,有,故.4.(2022乙卷文科第3题)3.已知向量,,则 A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可得,则,选项D正确.(2022年新高考2卷第4题)已知,,,,则A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知有,,故,解得.5.(2022北京卷第10题)10.在中,为所在平面内的动点,且=1,则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】建立如图所示坐标系,由题易知,设所以选D.【方法2】注意:,且其中,.6.(2021新高考1卷第10题)10.已知为坐标原点,点,,,,则 A. B. C. D.【答案】AC【解析】对于A:,,A对;因为,,所以B错;因为,,,所以C对;而,,所以D错.故答案为AC.1.计算向量数量积的三个角度(1)定义法:已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角).(2)基向量法:计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解.(3)坐标法:若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解. 2.求向量夹角问题的方法(1)当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角θ,需求出a·b及|a|,|b|或得出它们之间的关系.(2)若已知a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则cos〈a,b〉=eq\f(x1x2+y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)+yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)+yeq\o\al(2,2))). 3.求向量的模或其范围的方法(1)定义法:|a|=eq\r(a2)=eq\r(a·a),|a±b|=eq\r((a±b)2)=eq\r(a2±2a·b+b2).(2)坐标法:设a=(x,y),则|a|=eq\r(x2+y2).(3)几何法:利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用解三角形的相关知识求解.1.求平面向量的模的公式(1)a2=a·a=|a|2或|a|=eq\r(a·a)=eq\r(a2);(2)|a±b|=eq\r((a±b)2)=eq\r(a2±2a·b+b2);(3)若a=(x,y),则|a|=eq\r(x2+y2).2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为夹角为π时不成立).1.投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.2.向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念,要加以区别.3.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.1.已知向量a,b的夹角为eq\f(π,3),若c=eq\f(a,|a|),d=eq\f(b,|b|),则c·d=( )A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,4)【答案】B【解析】c·d=eq\f(a,|a|)·eq\f(b,|b|)=eq\f(|a||b|cosa,b,|a||b|)=coseq\f(π,3)=eq\f(1,2).故选B.2.已知向量a,b满足a·(b+a)=2,且a=(1,2),则向量b在a方向上的投影为( )A.eq\f(\r(5),5)B.-eq\f(\r(5),5)C.-eq\f(2,5)eq\r(5)D.-eq\f(3,5)eq\r(5)【答案】D【解析】由a=(1,2),可得|a|=eq\r(5),由a·(b+a)=2,可得a·b+a2=2,所以a·b=-3,所以向量b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)=-eq\f(3\r(5),5).故选D.3.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a,c的数量积为( )A.0B.-2a2C.2a2D.-a2【答案】A【解析】由非零向量a,b,c满足a+b+c=0,可得c=-(a+b),所以a·c=a·[-(a+b)]=-a2-a·b=-a2-|a|·|b|·cosa,b.由于a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,所以a·c=-a2-|a|·|b|cos120°=-|a|2-2|a|2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=0.故选A.4.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=eq\r(7)a+eq\r(2)b,则sin〈a,c〉=( )A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(7),9)D.eq\f(\r(2),9)【答案】B【解析】因为a,b是单位向量,所以|a|=|b|=1.又因为a·b=0,c=eq\r(7)a+eq\r(2)b,所以|c|=eq\r((\r(7)a+\r(2)b)2)=3,a·c=a·(eq\r(7)a+eq\r(2)b)=eq\r(7),所以cos〈a,c〉=eq\f(a·c,|a||c|)=eq\f(\r(7),3).因为〈a,c〉∈[0,π],所以sin〈a,c〉=eq\f(\r(2),3).故选B.5.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(eq\r(3),eq\r(2)),则|a+2b|=( )A.2eq\r(2)B.2eq\r(5)C.eq\r(17)D.eq\r(15)【答案】C【解析】因为a-b=(eq\r(3),eq\r(2)),所以|a-b|=eq\r(5),所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=5-2a·b=5,则a·b=0,所以|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=17,所以|a+2b|=eq\r(17).故选C.6.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )A.-eq\f(3,2) B.-eq\f(5,3)C.eq\f(5,3)D.eq\f(3,2)【答案】A【解析】.c=a+kb=(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k),因为b⊥c,所以b·c=0,b·c=(1,1)·(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+2k=0,所以k=-eq\f(3,2).7.(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=0,且|eq\o(OA,\s\up6(→))|=|eq\o(AB,\s\up6(→))|,下列结论正确的是( )A.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为-eq\r(3)B.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影长为eq\r(3)D.eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】BCD【解析】由eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))=0得eq\o(OB,\s\up6(→))=-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→)),所以四边形OBAC为平行四边形.又O为△ABC外接圆的圆心,所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|=|eq\o(OA,\s\up6(→))|,又|eq\o(OA,\s\up6(→))|=|eq\o(AB,\s\up6(→))|,所以△OAB为正三角形.因为△ABC的外接圆半径为2,所以四边形OBAC是边长为2的菱形,所以∠ACB=eq\f(π,6),所以eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(CA,\s\up6(→))|coseq\f(π,6)=2×eq\f(\r(3),2)=eq\r(3),故C正确.因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=-2,eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=2,故B,D正确.8.(多选)在△ABC中,下列命题正确的是( )A.eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CA,\s\up6(→))=0C.若(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))=0,则△ABC为等腰三角形D.若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0,则△ABC为锐角三角形【答案】BC【解析】由向量的运算法则知eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(CB,\s\up6(→));eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CA,\s\up6(→))=0,故A错,B对;因为(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))=|eq\o(AB,\s\up6(→))|2-|eq\o(AC,\s\up6(→))|2=0,所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2=|eq\o(AC,\s\up6(→))|2,即AB=AC,所以△ABC为等腰三角形,故C对;因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0,所以角A为锐角,但三角形不一定是锐角三角形.故选BC.9.如图,在△ABC中,M为BC的中点,若AB=1,AC=3,eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60
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