考向17 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学

考向17平面向量的概念及线性运算1．（2022新高考1卷第3题）在中，点在边上，．记，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，又因为，所以，即．故选B．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，为边上的中线，为的中点，∴，故选．3．（2020江苏第13题）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是．【答案】【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，故，，故，故．在中，；在中，由正弦定理得，即．1.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量． 2.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.共线向量定理的应用（1）证明向量共线∶对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb（b≠0），则a与b共线（2）证明三点共线若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值1．三点共线的等价转化:A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)2．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(MD,\s\up6(→))为( )A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是( )A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|3.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝( )A.eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))B．2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))4．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝( )A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))5.在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( )A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(1,3)6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在( )A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上7．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是( )A.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C．BP＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b9．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．10．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)一、单选题1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（ ）A． B．C． D．2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（       ）A．2 B． C． D．3．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（       ）A． B． C． D．4．（2022·全国·模拟预测（理））在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）A．9 B．8 C．4 D．25．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（       ）A．8 B．6 C．4 D．26．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边中，O为重心，D是的中点，则（       ）A． B． C． D．7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ）A． B． C． D．8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在中，、分别是边、上的点，且，，若，，则（       ）A． B． C． D．9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ）A． B．2 C． D．110．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆的直径，P为圆上的点，则（       ）A．4 B． C．8 D．11．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，则（       ）A． B．C． D．12．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（     ）A． B．C． D．二、多选题13．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．在上的投影向量为14．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列四个结论正确的是（ ）A．若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线B．已知向量，若，则为钝角.C．若G为△ABC的重心，则D．若，△ABC一定为等腰三角形三、填空题15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，设四边形的对角线交于点O，若，则___________________．16．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）点在椭圆上，不在坐标轴上，，，，，直线与交于点，直线与轴交于点，设，，则的值为______．1.（2015）设D为ABC所在平面内一点，则()A.B.C.D.2．（20181）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up5(→))=()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))-eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up5(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up5(→))+eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up5(→))3.中，点在上，平分．若，，，，则()A.B.C.D.4.（2014新课标1）设分别为的三边的中点，则（）A．B．C．D．5.（20132）已知正方形的边长为,为的中点,则．6.（20173）