考向17 平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解

考向17平面向量的概念及线性运算1．（2022新高考1卷第3题）在中，点在边上，．记，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，又因为，所以，即．故选B．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，为边上的中线，为的中点，∴，故选．3．（2020江苏第13题）在中，，，，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是．【答案】【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，故，，故，故．在中，；在中，由正弦定理得，即．1.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量． 2.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.共线向量定理的应用（1）证明向量共线∶对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb（b≠0），则a与b共线（2）证明三点共线若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值1．三点共线的等价转化:A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)2．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(MD,\s\up6(→))为( )A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b【答案】D【解析】eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是( )A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|【答案】C【解析】因为向量eq\f(a,|a|)的方向与向量a相同，向量eq\f(b,|b|)的方向与向量b相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件．3.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝( )A.eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))B．2eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】D【解析】连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))＝2(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故选D.4．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝( )A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))【答案】C【解析】因为E为DC的中点，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因为eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选C.5.在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( )A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(1,3)【答案】A【解析】由题意，知eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)×eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝－eq\f(1,6)，μ＝eq\f(1,2)，则λ＋μ＝eq\f(1,3)，故选A.6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在( )A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上【答案】B【解析】由eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→)).则eq\o(CP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))为共线向量，又eq\o(CP,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．7．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是( )A.eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C．BP＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))【答案】ABC【解析】由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b【答案】AB【解析】对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝eq\f(2,7)e，b＝－eq\f(8,7)e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D错误．故选AB.9．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→)