考向17 平面向量的概念及线性运算(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解

2023-11-07 · U1 上传 · 19页 · 1.9 M

考向17平面向量概念线性运算1.(2022新高考1卷第3题)在中,点在边上,.记,,则A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,又因为,所以,即.故选B.2.(2018•新课标Ⅰ,理6文第7题)在中,为边上的中线,为的中点,则 A. B. C. D.【答案】A【解析】在中,为边上的中线,为的中点,∴,故选.3.(2020江苏第13题)在中,,,,在边上,延长到,使得,若(为常数),则的长度是.【答案】【解析】由向量系数为常数,结合等和线性质可知,故,,故,故.在中,;在中,由正弦定理得,即.1.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混淆.(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系:eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量. 2.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.3.共线向量定理的应用(1)证明向量共线∶对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb(b≠0),则a与b共线(2)证明三点共线若存在实数λ,使,则A,B,C三点共线(3)求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值1.三点共线的等价转化:A,P,B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))=(1-t)·eq\o(OA,\s\up6(→))+teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A,P,B的任一点,t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→)).(O为平面内异于A,P,B的任一点,x∈R,y∈R,x+y=1)2.向量的中线公式:若P为线段AB的中点,O为平面内一点,则eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))).1.若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点.2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系.1.如图,平行四边形ABCD的对角线交于M,若eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,用a,b表示eq\o(MD,\s\up6(→))为( )A.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)bC.-eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)bD.-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b【答案】D【解析】eq\o(MD,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(b-a)=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b.2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使eq\f(a,|a|)=eq\f(b,|b|)成立的充分条件是( )A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|【答案】C【解析】因为向量eq\f(a,|a|)的方向与向量a相同,向量eq\f(b,|b|)的方向与向量b相同,且eq\f(a,|a|)=eq\f(b,|b|),所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.当a=2b时,eq\f(a,|a|)=eq\f(2b,|2b|)=eq\f(b,|b|),故a=2b是eq\f(a,|a|)=eq\f(b,|b|)成立的充分条件.3.如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则eq\o(AB,\s\up6(→))=( )A.eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AD,\s\up6(→))B.2eq\o(AC,\s\up6(→))-2eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→))D.2eq\o(AD,\s\up6(→))-2eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】D【解析】连接CD,因为C,D是半圆弧的两个三等分点,所以CD∥AB,且AB=2CD.所以eq\o(AB,\s\up6(→))=2eq\o(CD,\s\up6(→))=2(eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))=2eq\o(AD,\s\up6(→))-2eq\o(AC,\s\up6(→)),故选D.4.如图,在正方形ABCD中,E是DC的中点,点F满足eq\o(CF,\s\up6(→))=2eq\o(FB,\s\up6(→)),那么eq\o(EF,\s\up6(→))=( )A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))【答案】C【解析】因为E为DC的中点,所以eq\o(EC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因为eq\o(CF,\s\up6(→))=2eq\o(FB,\s\up6(→)),所以eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(EC,\s\up6(→))+eq\o(CF,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)),故选C.5.在△ABC中,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点N为AM上一点且eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→)),若eq\o(AN,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))+μeq\o(AC,\s\up6(→)),则λ+μ=( )A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,2)D.-eq\f(1,3)【答案】A【解析】由题意,知eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BM,\s\up6(→)))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)×eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)))=-eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)),所以λ=-eq\f(1,6),μ=eq\f(1,2),则λ+μ=eq\f(1,3),故选A.6.已知P是△ABC所在平面内的一点,若eq\o(CB,\s\up6(→))=λeq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→)),其中λ∈R,则点P一定在( )A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上【答案】B【解析】由eq\o(CB,\s\up6(→))=λeq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(CB,\s\up6(→))-eq\o(PB,\s\up6(→))=λeq\o(PA,\s\up6(→)),eq\o(CP,\s\up6(→))=λeq\o(PA,\s\up6(→)).则eq\o(CP,\s\up6(→)),eq\o(PA,\s\up6(→))为共线向量,又eq\o(CP,\s\up6(→)),eq\o(PA,\s\up6(→))有一个公共点P,所以C,P,A三点共线,即点P在直线AC上.7.(多选)如图,设P,Q两点把线段AB三等分,则下列向量表达式正确的是( )A.eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\o(AQ,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.BP=-eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AQ,\s\up6(→))=eq\o(BP,\s\up6(→))【答案】ABC【解析】由数乘向量的定义可以得到A,B,C都是正确的,只有D错误.8.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定能使a,b共线的是( )A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD,其中eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(CD,\s\up6(→))=b【答案】AB【解析】对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=eq\f(2,7)e,b=-eq\f(8,7)e,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,由共线定理知,存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0,则非零向量a,b是共线向量,故B正确;对于C,xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0),如果x=y=0,则不能保证a,b共线,故C不正确;对于D,已知梯形ABCD中,AB=a,CD=b,AB,CD不一定是梯形的上、下底,故D错误.故选AB.9.已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,eq\o(MN,\s\up6(→))=2e1-3e2,eq\o(NP,\s\up6(→)

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