考向20等比数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向20等比数列1（2021年甲卷理科第7题）等比数列的公比为，前项和为．设甲：．乙：是递增数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】时，是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；是递增数列，可以推出，可以推出，甲是乙的必要条件．故选：B．2.（2021年甲卷文科第9题）记为等比数列的前项和．若，，则A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】由题意可知，，，因为是等比数列，所以，从而．3.（2022年乙卷理科第8题，文科第10题）已知等比数列的前3项和为168，，则A．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】设等比数列首项，公比由题意，，即，即解得，，，所以4．（2021年上海第8题）已知等比数列，的各项和为，则数列的各项和为________．【答案】【解析】因为的各项和为，，所以，解得，所以即数列的各项和为5.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列公差为由，知，故由，知，故；故，整理得，得证．（2）由（1）知，由知：即，即，因为，故，解得故集合中元素的个数为9个．1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件．利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 3.解决等比数列基本运算问题的两种常用思想(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解;(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝eq\f(a1,q)·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C.(A，B，C均不为零)1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.2．在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形．1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝( )A．－2B．2C．－8D．－2或－82．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )A．16 B．15 C．8 D．73．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或eq\f(1,2)4.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝( )A．5B．4C．3D．25.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(a2a16,a9)的值为( )A．－eq\f(2＋\r(2),2)B．－eq\r(2)C.eq\r(2)D．－eq\r(2)或eq\r(2)6.设单调递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则正确的是( )A．Sn＝2n－1－1B．an＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1D．Sn＝2n－17．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))B．{log2aeq\o\al(2,n)}C．{an＋an＋1}D．{an＋an＋1＋an＋2}8．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)＝eq\r(6)，则a5的值可能是( )A．2B．4C.eq\f(8,5)D.eq\f(8,3)9.已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－eq\f(1,8)，若Sk＝－eq\f(11,8)，则k＝________．10.设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.则通项公式an＝________．11．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为________．12．在等比数列{an}中，若a1a5＝16，a4＝8，则a6＝________．13.在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.14.在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－eq\f(1,2)x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．求证：数列{bn}是等比数列．一、单选题1．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（    ）A． B． C． D．2．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（    ）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：，）A．83 B．60 C．50 D．443．（2022·四川凉山·三模（理））下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（    ）A．中，，B．，成等比数列C．是数列的前n项和，p：数列为等比数列，q：数列，，成等比数列D．，，4．（2022·全国·模拟预测（文））设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（    ）A．数列的公比为 B．C．存在最大值，但无最小值 D．5．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））记数列中不超过正整数n的项的个数为，设数列的前n项的和为，则等于（    ）A． B．C． D．6．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列满足，则下列有可能成立的是（    ）A．若为等比数列，则B．若为递增的等差数列，则C．若为等比数列，则D．若为递增的等差数列，则二、多选题7．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，且，记的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（    ）A．当时，递减 B．当时，C．当时， D．当时，8．（2022·湖北武汉·二模）数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，.记的前项和为，则下列说法中正确的有（    ）A．若，则B．中可能出现连续五项构成等差数列C．对任意小于的正整数，存在正整数，使得D．对中任意一项，必存在，使得按照一定顺序排列可以构成等差数列三、填空题9．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有个数，若，且该数阵中第5行第6列的数为42，则___________.a1a2a3a4a5a6a7……10．（2021·四川成都·三模（理））已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：①；②若对恒成立，则；③设，，则的最小值为；④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．其中所有正确的命题的序号为________．11．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和，数列满足，，，且；下列几个结论中，所有正确结论的编号为___________.①；②；③；④.12．（2022·全国·长郡中学模拟预测）公比为q的等比数列{}满足：，记，则当q最小时，使成立的最小n值是___________13．（2022·山东青岛·二模）已知等比数列为递增数列，，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若项数为n的数列满足：（，2，3，…，n）我们称其为n项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列为项的“对称数列”，其中，，，…，是公差为2的等差数列，数列的最大项等于.记数列的前项和为，若，求k.14．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知数列满足，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．(1)求和的通项公式；(2)设数列的前n项和为，证明：；(3)比较和的大小．1．（2020全国Ⅰ文10）设是等比数列，且，则 （）A．B．C．D．2．（2020全国Ⅱ文6）记为等比数列的前项和．若则 （）A． B． C． D．3．（2020全国Ⅱ理6）数列中，，，若，则（）A．B．C．D．4．（2019•新课标Ⅲ，理5）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16 B．8 C．4 D．25．（2017•新课标Ⅱ，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏6．（2015•新课标Ⅱ，理4）已知等比数列满足，，则 A．21 B．42 C．63 D．847．（2015新课标Ⅱ，文9）已知等比数列满足，，则（）8．(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．9．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则A．， B．，C．， D．，10．（2014重庆）对任意等比数列，下列说法一定正确的是A．成等比数列B．成等比数列C．成等比数列D．成等比数列11．（2019•新课标Ⅰ，理14）记为等比数列的前项和．若，，则 ．12．（2019•新课标Ⅰ，文14）记为等比数列的前项和，若，，则 ．13．（2015新课标Ⅰ，文13）数列中为的前n项和，若，则．14．（2017•新课标Ⅲ，理14）设等比数列满足，，则 ．15．（2017江苏）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则=．16．（2017北京）若等差数列和等比数列满足，，则=_____．17．（2017•新课标Ⅱ，文17）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，．（1）若，求的通项公式；（2）若，求．18．（2018•新课标Ⅲ，理文17）等比数列中，，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．1．【答案】C【解析】依题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1＝a1＝－2，,S3＝a1＋a1q＋a1q2＝－6，))解得q＝－2(q＝1舍去)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－82．【答案】B【解析】设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝eq\f(1×（1－24）,1－