考向24不等式选讲（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向24不等式选讲1.（2022年甲卷）23.已知a，b，c均正数，且，证明：（1）；（2）若，则．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以；【小问2详解】证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以2.（2022年乙卷）23.已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【小问1详解】证明：因为，，，则，，，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．【小问2详解】证明：因为，，，所以，，，所以，，当且仅当时取等3.【2021年乙卷】已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.4.【2021年甲卷】已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【解析】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.1.解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.2.使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。3.使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即，从而能够使用排序不等式。1、不等式的基本性质：（1）（2）（不等式的传递性）注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）（4）（5）（6）2、绝对值不等式：（1）等号成立条件当且仅当（2）等号成立条件当且仅当（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：①调和平均数：②几何平均数：③代数平均数：④平方平均数：（2）均值不等式：，等号成立的条件均为：（3）三项均值不等式：①②③4、柯西不等式：等号成立条件当且仅当或（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当（2）柯西不等式的几个常用变形①柯西不等式的三角公式：②②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。③5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：即“反序和乱序和顺序和”1.绝对值不等式(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．2.柯西不等式(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(eq\f(1,a\o\al(2,1))＋eq\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,a\o\al(2,n)))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．1.若存在实数使得成立，求实数的取值范围。【解析】依题意可知二次方程有解即当时，当时，恒成立当时，综上所述，可得2已知函数（1）当时，解不等式（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）当时，当时，当时，综上所述：不等式的解集为（2）恒成立考虑在单调递减，在单调递增3.已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（2）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【解析】（1）当时，因此当时，，若则有，故，这与无交集；当时，，若则有故，这的交集为；当时，，若则有故，这的交集为综上可得（2）由于，则可得画出分段函数的图像，可得时，，当时，因此可得三角形的面积为：解得或（舍去）故可得4.已知均为正数，求证：，并确定为何值时，等号成立【解析】由均值不等式可得：等号成立条件：5.已知，（1）若，求的最小值（2）求证：【解析】（1）由柯西不等式可得：（2）由均值不等式可得：三式相加：即6.设正数满足（1）求的最大值（2）证明：【解析】（1），的最大值为，此时（2）由柯西不等式可得：由（1）知等号成立条件：1．已知均为正实数，且.(1)求的最小值;(2)证明:.【解析】（1）由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.（2）因为，所以..同理可得，所以，当且仅当时等号成立.所以，即2．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)．【解析】（1）由已知可得，当且仅当时，等号成立．又a，b，c均为正数，所以．（2）因为，当且仅当时，等号成立，所以，整理得，所以，当且仅当时，等号成立．3．已知不等式的解集为．求(1)常数的值(2)不等式的解【解析】（1）因为不等式的解集为，所以，的实数根为或，所以，，解得，所以，（2）结合（1）知，故，所以，即，所以，不等式的解集为4．已知，，，且.(1)求证：；(2)若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.【解析】（1），所以，当且仅当时等号成立（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，等价于，令，当时，，当时，，舍去，当时，，即或.综上所述，取值范围为.5．己知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意，都有，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，所以不等式的解集为．（2）因为，故所以所以函数在上递减，在上递增，所以函数在上的最小值为．所以，即解得或．6．设函数的最小值为t(1)求t的值；(2)若a，b，c为正实数，且，求证：.【解析】（1）当时，；当时，；当时，，所以当时，取最小值.(2)由（1）可知，因为，，为正实数，.当且仅当，即，，时取等号，所以.7．已知函数.(1)解不等式；(2)设是函数的最小值，若，求证：.【解析】（1）当时，不等式为；当时，不等式为；当时，不等式为.所以不等式的解集为.（2）由题得，所以所以的最小值是2，所以.所以.要证明,只需证明；只需证明，由题得.(当且仅当时等号成立)即得证.8．已知函数.(1)求的定义域；(2)设，，是中的最小整数，求证：.【解析】(1)设.的定义域即不等式的解集.∵等价于①或②或③∴不等式的解集为，即函数的定义域为(2)∵，，a是M中的最小整数.∴，∴当且仅当，即，时等号成立.∴（当且仅当，时取等号）1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）详解解析；（2）.【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得．所以不等式的解集为．2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.3.（2020·新课标Ⅲ）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，.当且仅当时，取等号，，即.4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为，又，故有．所以．（2）因为为正数且，故有=24．所以．5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集（2）若时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，．所以，不等式的解集为．（2）因为，所以．当，时，．所以，的取值范围是．6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【答案】（1）；（2）见详解．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立．因此的最小值为．由题设知，解得或．7.（2018年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲]已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．【解析】（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．8.（2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．9.（2018年全国Ⅲ卷理数）[选修4—5：不等式选讲]设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。10.（2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．【答案】4【解析】证明：由柯西不等式，得．因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4．11．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而．所以的解集为．（2）当时，．所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．12．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）（2）因为所以，因此．13．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得．所以的解集为．（2）由得，而，且当时，．故m的取值范围为．