考向20等比数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向20等比数列1（2021年甲卷理科第7题）等比数列的公比为，前项和为．设甲：．乙：是递增数列，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】时，是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；是递增数列，可以推出，可以推出，甲是乙的必要条件．故选：B．2.（2021年甲卷文科第9题）记为等比数列的前项和．若，，则A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】由题意可知，，，因为是等比数列，所以，从而．3.（2022年乙卷理科第8题，文科第10题）已知等比数列的前3项和为168，，则A．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】设等比数列首项，公比由题意，，即，即解得，，，所以4．（2021年上海第8题）已知等比数列，的各项和为，则数列的各项和为________．【答案】【解析】因为的各项和为，，所以，解得，所以即数列的各项和为5.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列公差为由，知，故由，知，故；故，整理得，得证．（2）由（1）知，由知：即，即，因为，故，解得故集合中元素的个数为9个．1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件．利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 3.解决等比数列基本运算问题的两种常用思想(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解;(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝eq\f(a1,q)·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C.(A，B，C均不为零)1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.2．在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形．1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝( )A．－2B．2C．－8D．－2或－8【答案】C【解析】依题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1＝a1＝－2，,S3＝a1＋a1q＋a1q2＝－6，))解得q＝－2(q＝1舍去)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－82．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )A．16 B．15 C．8 D．7【答案】B【解析】设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝eq\f(1×（1－24）,1－2)＝15，故选B.3．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或eq\f(1,2)【答案】C【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,\f(a1（1－q3）,1－q)＝21，))得q＝－eq\f(1,2).综上，q的值是1或－eq\f(1,2)，故选C.4.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q＝( )A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝3，,a3＋a4＝12，))两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.5.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则eq\f(a2a16,a9)的值为( )A．－eq\f(2＋\r(2),2)B．－eq\r(2)C.eq\r(2)D．－eq\r(2)或eq\r(2)【答案】B【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a3·a15＝aeq\o\al(2,9)＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，a9＝a3q6＜0，则a9＝－eq\r(2)，所以eq\f(a2a16,a9)＝eq\f(aeq\o\al(2,9),a9)＝a9＝－eq\r(2).6.设单调递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则正确的是( )A．Sn＝2n－1－1B．an＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1D．Sn＝2n－1【答案】D【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a2a3a4＝64，所以aeq\o\al(3,3)＝64，解得a3＝4.又a2＋a4＝10，所以eq\f(4,q)＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝eq\f(1,2).又等比数列{an}单调递增，所以q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，所以Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.因此只有选项D正确，故选D.7．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))B．{log2aeq\o\al(2,n)}C．{an＋an＋1}D．{an＋an＋1＋an＋2}【答案】AD【解析】当等比数列{an}的通项公式为an＝1时，log2aeq\o\al(2,n)＝0，数列{log2aeq\o\al(2,n)}不是等比数列，当等比数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，由等比数列的定义知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列．故选AD.8．(多选)已知数列{an}是正项等比数列，且eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)＝eq\r(6)，则a5的值可能是( )A．2B．4C.eq\f(8,5)D.eq\f(8,3)【答案】ABD【解析】因为数列{an}是正项等比数列，所以a3＞0，a7＞0，a5＞0.由eq\r(6)＝eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)≥2eq\r(\f(2,a3)·\f(3,a7))＝eq\f(2\r(6),\r(a3a7))＝eq\f(2\r(6),\r(aeq\o\al(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(2,a3)＝\f(3,a7)时，等号成立))，得a5≥2.因此符合题意的选项为ABD.故选ABD.9.已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－eq\f(1,8)，若Sk＝－eq\f(11,8)，则k＝________．【答案】5【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a2＝1，a5＝－eq\f(1,8)，所以q3＝－eq\f(1,8)，解得q＝－eq\f(1,2)，所以a1＝－2，由Sk＝eq\f(－2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(k))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－eq\f(11,8)，解得k＝5.10.设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.则通项公式an＝________．【答案】3n－1【解析】设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝4，,a1q2－a1＝8.))解得a1＝1，q＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n－1.11．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为________．【答案】±8【解析】设a2与a10的等比中项为G，因为a2＝4，a10＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.12．在等比数列{an}中，若a1a5＝16，a4＝8，则a6＝________．【答案】32【解析】因为a1a5＝16，所以aeq\o\al(2,3)＝16，所以a3＝±4.又a4＝8，所以q＝±2.所以a6＝a4q2＝8×4＝32.13.在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝6，a2＝12－a3，所以6q＝12－6q2，解得q＝－2或q＝1，所以an＝6×(－2)n－1或an＝6.(2)①若an＝6×(－2)n－1，则Sn＝eq\f(6×[1－（－2）n],3)＝2[1－(－2)n]，由Sm＝66，得2[1－(－2)m]＝66，解得m＝5.②若an＝6，q＝1，则{an}是常数列，所以Sm＝6m＝66，解得m＝11.综上，m的值为5或11.14.在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－eq\f(1,2)x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．求证：数列{bn}是等比数列．【解析】因为点(bn，Tn)在直线y＝－eq\f(1,2)x＋1上，所以Tn＝－eq\f(1,2)bn＋1.①所以Tn－1＝－eq\f(1,2)bn－1＋1(n≥2)．②①②两式相减，得bn＝－eq\f(1,2)bn＋eq\f(1,2)bn－1(n≥2)．所以eq\f(3,2)bn＝eq\f(1,2)bn－1，所以bn＝eq\f(1,3)bn－1.由①，令n＝1，得b1＝－eq\f(1,2)b1＋1，所以b1＝eq\f(2,3).所以数列{bn}是以eq\f(2,3)为首项，eq\f(1,3)为公比的等比数列．一、单选题1．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；若，，，为，则不为等比数列，③不符合；故选：B2．（2022·陕西西安·一模（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%．每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目