考向08函数与方程1.(2022年北京卷第14题)设函数,若存在最小值,则的一个取值为,的最大值为________.【答案】(答案不唯一),1【解析】由题意知,函数最值于函数单调性相关,故可考虑以为分界点研究函数的性质,当时,,该段的值域为,故整个函数没有最小值;当时,该段值域为,而的值域为,故此时的值域为,即存在最小值为,故第一个空可填写;当时,,该段的值域为,而的值域为,若存在最小值,则需满足,于是可得;当时,,该段的值域为,而的值域为,若存在最小值,则需满足,此不等式无解。综上,的取值范围是,故的最大值为1.2.(2022年浙江卷第14题)已知,则;若当时,,则的最大值为.【答案】【解析】由题可知:,所以.当时,令,解得;当时,令,解得.所以的解集为.所以的最大值为.3.(2022年天津卷第15题)定义函数代表与中较小的数,若至少有个零点,求的取值范围____________【答案】【解析】设在上的零点才会成为的零点,只有在时才会成为的零点,至少有个零点有以下三种情况:①且在上有两个零点,转化为与的交点②且在上有两个零点③且在上至少有一个零点,综上所述:的取值范围是1.判断函数零点个数的3种方法(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)图形法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 2.根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.3.利用函数零点位置的对称性求和(1)将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题;(2)①如果两个函数图像都关于直线x=a对称,那么这两2个函数图像的交点也关于直线x=a对称,则对应的两零点之和为2a。②如果两个函数图像都关于点(a,0)对称,那么这两个函数图像的交点也关于点(a,0)对称,则对应的两零点之和为2a。有关函数零点的三个结论1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.2.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.3.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.【易错点1】函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.【易错点2】函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑.1.函数f(x)=lnx-eq\f(2,x)的零点所在的大致范围是( )A.(1,2) B.(2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1))和(3,4)D.(4,+∞)2.函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3.已知实数a>1,00))的零点个数为( )A.3B.2C.1D.06.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-2x,x≤0,,1+\f(1,x),x>0,))则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.37.函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(1-x2),|x|≤1,,|x|,|x|>1,))若方程f(x)=a有且只有一个实数根,则实数a满足( )A.a=1B.a>1C.0≤a<1D.a<08.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex,x≤0,,lnx,x>0,))g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是________.9.若函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-a,x≤0,,lnx,x>0))有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.10.函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln(-x-1),x<-1,,2x+1,x≥-1,))若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________. 一、单选题1.(2022·江西赣州·二模(文))下列四个命题中正确的是( )A.若函数的定义域为,则的定义域为B.若正三角形的边长为,则C.已知函数,则函数的零点为D.“”是“”的既不充分也不必要条件2.(2021·河南·模拟预测(理))已知是方程的解,是方程的解,则( )A.B.C.D.3.(2022·北京西城·一模)如图,曲线为函数的图象,甲粒子沿曲线从点向目的地点运动,乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发,且乙的水平速率为甲的倍,当其中一个粒子先到达目的地时,另一个粒子随之停止运动.在运动过程中,设甲粒子的坐标为,乙粒子的坐标为,若记,则下列说法中正确的是( )A.在区间上是增函数B.恰有个零点C.的最小值为D.的图象关于点中心对称4.(2021·四川·成都七中三模(理))已知函数,下列对于函数性质的描述,错误的是( )A.是的极小值点B.的图象关于点对称C.有且仅有三个零点D.若区间上递增,则的最大值为5.(2021·浙江绍兴·二模)已知,,设函数,若对任意的实数,都有在区间上至少存在两个零点,则( )A.,且 B.,且C.,且 D.,且6.(2021·四川凉山·二模(文))集合,是到的函数,方程恰好有两个不同的根,且,则函数的零点个数为( )A.1 B.2 C.1或2 D.4二、多选题7.(2022·山东威海·三模)已知函数,则( )A.当时,函数的定义域为B.当时,函数的值域为C.当时,函数在上单调递减D.当时,关于x的方程有两个解8.(2022·全国·模拟预测)已知定义域为R的偶函数有4个零点,,,,并且当时,,则下列说法中正确的是( )A.实数a的取值范围是B.当时,C.D.的取值范围是9.(2022·河北保定·一模)已知、分别是方程,的两个实数根,则下列选项中正确的是( ).A.B.C.D.10.(2021·全国·二模)已知函数,则下列关于函数说法正确的是( )A.函数有一个极大值点B.函数在上存在对称中心C.若当时,函数的值域是,则D.当时,函数恰有6个不同的零点.三、填空题11.(2021·四川成都·模拟预测(文))已知是定义在上的奇函数,当时,有下列结论:①函数在上单调递增;②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点;③若关于的方程恰有个不相等的实数根,则这个实数根之和为;④记函数在上的最大值为,则数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是___________.12.(2022·北京房山·一模)函数的图象在区间(0,2)上连续不断,能说明“若在区间(0,2)上存在零点,则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.1.(2020·全国高考真题(理))若,则()A. B. C. D.2.(2019·浙江高考真题)已知,函数,若函数恰有三个零点,则A.B.C.D.3.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,.若存在2个零点,则a的取值范围是()A.[–1,0)B.[0,+∞)C.[–1,+∞)D.[1,+∞)4.(2017新课标Ⅲ)已知函数有唯一零点,则()A.B.C.D.15.(2014·山东高考真题(理))已知函数若方程有两个不相等的实根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.(2010新课标)已知函数,若,,均不相等,且==,则的取值范围是A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)7.(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为_____.8.(2011全国新课标)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于________.9.(2019全国Ⅲ理12节选)设函数,已知在有且仅有5个零点.的取值范围是____________.10.(2019·江苏高考真题)设是定义在上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当时,,,其中.若在区间上,关于的方程有8个不同的实数根,则的取值范围是_____.1.【答案】B【解析】选B.易知f(x)为增函数,由f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-eq\f(2,3)>0,得f(2)·f(3)<0.2.【答案】 B【解析】 方法一(定理法):函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增,图象是一条连续曲线.由题意知f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,f(3)=2>0,根据零点存在性定理可知,函数f(x)=log3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内.方法二(图象法):函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=log3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两个函数的图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.3.【答案】B【解析】因为a>1,00,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.4.【答案】D【解析】选D.令f(x)=0得eq\f(1,3)x=lnx,作出函数y=eq\f(1,3)x和y=lnx的图象,如图,显然y=f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1))内无零点,在区间(1,e)内有零点.5.【答案】 B【解析】 方法一(方程法):由f(x)=0,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0,,x2+x-2=0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,,-1+lnx=0,))解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.方法二(图形法):函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.6.【答案】 C【解析】选C.令f(x)+3x=0,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0,,x2-2x+3x=0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,,1+\f(1,x)+3x=0,))解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.7.【答案】 A【解析】方程f(x)=a有且只有一个实数根,即直线y=a与
考向08函数与方程(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
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