考向16 解三角形（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向16解三角形1.【2022年甲卷理科卷第11题】将函数f的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A【答案】C【解析】记为向左平移个单位后得到的曲线，则==由关于Y轴对称，可得：，，故有，所以的最小值为.选C.2． 【2022年浙江卷】16．已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】令，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，，，当且仅当即时取等号．3．【2022年北京卷第16题】在中，sin2C=.（1）求（2）若，且的面积为，求的周长。【答案】（1）（2）【解答】（1）sin2C=，，，=。，，，由余弦定理得，所以的周长为.4．【2022年乙卷理科第17题】17.（12分）记的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)证明：；(2)若，，求的周长.【答案】（1）见证明过程；（2）；【解析】1.已知可化简为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，即证，（2）由（1）可知，，，，，，的周长为145．【2022年乙卷文科第17题】记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求;（2）证明：．【答案】（1）；（2）略.【解析】（1）解：因为,所以，，所以，，代入中得又，所以，所以，所以（2）证明:因为所以所以所以，又所以由正弦定理得=1\*GB3①又由余弦定理得，所以=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以.证法2：因为所以又同理，所以由正弦定理得所以6.【2022年新高考1卷第18题】 记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件得：所以，即，由已知条件：，则，可得，所以，．（2）由（1）知，则，，，由正弦定理，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．7.【2022年新高考2卷第18题】记的三个内角分别为、、，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．（1）求的面积；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）边长为的正三角形的面积为，，即，由得：，，故．由正弦定理得：，故．8.【2022年浙江卷第18题】在中，角的对边分别为a，b，c，已知，．（I）求的值；（II）若，求的面积．【答案】（I）；（II）．【解析】（I）由于，且是三角形的内角，则.由正弦定理知,则.(II)由余弦定理，得，即，解得． 所以的面积.1.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)可求出c，而通过eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．3．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．4.判定三角形形状的两种常用途径5．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4．三角形中的大角对大边在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.5．三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．易错点1：解三角函数的定义此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。易错点2：三角函数图象变换函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.易错点3：由三角函数图像求解析式结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.（2）求ω，已知函数的周期T，则.（3）求φ，常用方法有：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．=2\*GB3\*MERGEFORMAT②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.易错点4：给值（式）求角（值）解三角函数的给值求值问题的基本步骤（1）先化简所求式子或所给条件；（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．易错点5：三角形中边角关系此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B 【解析】由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，则b＝( )A．2 B．1 C．eq\r(3) D．eq\r(2)【答案】D 【解析】由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(sin\f(π,4),sin\f(π,6))＝eq\f(\r(2),2)×2＝eq\r(2).3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)【答案】C 【解析】由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋25－49,30)＝－eq\f(1,2).又因为∠BAC是△ABC的内角，所以∠BAC＝eq\f(2π,3)，故选C.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形【答案】C 【解析】因为eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(a,c).所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).所以△ABC是等边三角形．5.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2eq\r(3)，B＝45°，C＝75°，则b＝( )A．2B．eq\r(6)C．2eq\r(2)D．3eq\r(2)【答案】C 【解析】由题意A＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2\r(3)×sin45°,sin60°)＝2eq\r(2)，故选C．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b2＋c2－a2＝bc，a＝eq\r(3)，则b＋c的取值范围是( )A．(1，eq\r(3))B．(eq\r(3)，2eq\r(3)］C．(eq\r(3)，3eq\r(3))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(3\r(3),2)))【答案】B 【解析】依题意得b2＋c2－bc＝3，即(b＋c)2＝3bc＋3≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))eq\s\up12(2)＋3，(b＋c)2≤12，b＋c≤2eq\r(3)，当且仅当b＝c＝eq\r(3)时取等号，又b＋c>a＝eq\r(3)，因此b＋c的取值范围是(eq\r(3)，2eq\r(3)］，选B7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，c＝6，C＝2A，则cosA＝________，b＝________.【答案】eq\f(3,4) 4或5【解析】在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(c,sin2A)＝eq\f(c,2sinAcosA)，∴4＝eq\f(6,2cosA)，∴cosA＝eq\f(3,4).在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝b2＋36－2b×6×eq\f(3,4)，b2－9b＋20＝0，解得b＝4或b＝5.8.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cosC＝ccosA，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3eq\r(2)，则a＋b＝________.【答案】eq