考向03 复数 （重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向03复数【2022年全国甲卷】1.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C【2022年全国甲卷】2.已知，且，其中a，b为实数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由,得,即.故选:【2022年新高考1卷】3.2.若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由题设有，故，故，故选：D【2022年新高考2卷】4.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选：D.【2022年浙江卷】2.已知（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，而为实数，故，故选：B.【2022年北京卷】2.若复数z满足，则（）A.1 B.5 C.7 D.25【答案】B【解析】由题意有，故．故选：B．每年1题，稳得不得了，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设z=a+bi几个重要的结论1.2.3.若为虚数,则4.关于虚数单位i的一些固定结论：（1）（2）（3）（2）易错题【01】对服饰的相关概念理解不清易错题【02】对复数的模的定义理解不透易错题【03】复数相等的条件应用出错易错题【04】复数的模与绝对值混淆1．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A．0B．1C．2D．3【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.2．已知复数满足，则（）A． B．C．D．【解析】选A，.3．已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A． B． C． D．【解析】选D，，所以对应点坐标为（-1,0）.4．设是虚数单位，则等于（）A．0 B．C．D．【解析】选D,5．若z为纯虚数，且，则（）A． B． C．D．【解析】选A.由题意可知z=±2i,6．已知为纯虚数，则实数m的值为（）A．1 B．-1 C． D．【解析】选A.由题意有，所以m=1.一、单选题1．（2022·辽宁·育明高中一模）若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（       ）A．B．y＝C．D．【答案】D【解析】因为＝＝－＋i，所以a＝－，b＝，所以A，把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.故选：D.2．（2021·云南昆明·三模（理））给出下列三个结论：①若复数是纯虚数，则②若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限③若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①因为复数是纯虚数，则，解得，故正确；②复数，则复数z在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z满足，所以z在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；所以正确结论的个数是2个，故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知a为正整数，且，则a=（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因为，所以，即，，a为正整数，所以，故选：A4．（2022·江西南昌·三模（理））若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数，使也是高斯整数其中正确的命题有（       ）A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④【答案】A【解析】①令，当时，，即为整数，根据题意，是高斯整数，故①正确；②令，，则，则为整数，为整数，故为高斯整数，故②正确；③令，且，故，所以至少有一个数为非整数，故不是高斯整数，③错误；④令，且，则，若为高斯整数，故为整数，即存在有限个，例如，故④正确.故选：A.5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因，则，即，而，则，解得，所以.故选：C二、多选题6．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）已知，，则下列说法正确的有（       ）A．若为实数，则；B．的共轭复数是；C．的最小值是4；D．满足的复数在复平面上的对应点的集合是以为圆心，以1为半径的圆．【答案】AC【解析】为实数，，，故A正确；，其共轭复数为，故B错误；表示点到原点的距离，，当时，取最小值为，故C正确；设，由得，即，对应点的集合是以为圆心，以1为半径的圆，故D错误；故选：AC7．（2021·重庆八中模拟预测）设复数的共辄复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则的最大值为2【答案】ABD【解析】若，即，，则，A正确；若，即的虚部为0，则，B正确；若，则，C错误；若，设（），即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确，故选：ABD．8．（2021·江苏泰州·模拟预测）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（       ）A．当为纯虚数时，三点共线B．当时，为等腰直角三角形C．对任意复数，D．当为实数时，【答案】ABD【解析】设，则，对A：当为纯虚数时，，对应的点分别为、，均在轴上，所以三点共线，故A正确；对B:当时，，所以，，所以，而，所以，所以为等腰直角三角形，故B正确；对C：,,当时，，故C错误；对D：当为实数时，，此时，故D正确.故选：ABD9．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（       ）A．若A，B，C为任意集合，则B．若，，为任意向量，则C．若，，为任意复数，则D．若A，B，C为任意事件，则【答案】AC【解析】对于A，集合运算有结合律，任意集合A，B，C都有，故A正确；对于B，向量的数量积不满足结合律，即故B错误；，对于C，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数，，，有，故C正确；对于D，若，，故D错误.故选：AC.三、填空题10．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数（i为虚数单位），则__________．【答案】【解析】；故答案为：.1．(2021年新高考1卷)已知，则 A． B． C． D．【答案】C【解析】，故答案选C．2.(2021年新高考2卷)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选：D.3．(2021年高考全国甲卷理科)已知，则 ( )AB．C．D．【答案】B【解析】，．故选：B．4．(2021年高考全国乙卷理科)设，则 ( )A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，则，所以，，解得，因此，．故选：C．5． (2021年高考浙江卷)已知，（为虚数单位），则（）. A． B．1 C． D．3【答案】C【解析】由题意，得，复数相等定义，知，故选C．6．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i，则|z2–2z|= ( )A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意可得：，则．故．故选：D．7．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数虚部是 ( )A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以复数的虚部为．故选：D．8．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若，则 ( )A． B． C． D．【答案】D【解析】根据复数运算法则，，故选D．另解：由常用结论，得，则，故选D．【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵，∴，对应坐标，是第三象限．【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数满足，在复平面内对应的点为，则( )A.B．C．D．【答案】C【解析】设，则．11．(2021年上海卷)已知，．【答案】【解析】由题意得:12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数，满足，，则=__________．【答案】【解析】方法一：设，，，，又，所以，，．故答案为：．方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴．【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解