考向13 简单的三角恒等变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向13简单的三角恒等变换1．【2022年新高考2卷第6题】角满足，则 A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：设则，取，排除A，C；再取则，取，排除B；选D．解法二：由，故，故，即，故，故，故．故选D.2.【2022年北京卷第5题】已知函数，则 （A）在上单调递减 （B）在上单调递增 （C）在上单调递减 （D）在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.3．【2022年浙江卷第13题】若，则，．【答案】【解析】由题，所以，解得．所以．1.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 2.三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式． 4.三角公式求值中变角的解题思路①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．5.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 1.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2.升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4.辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).1.明确二倍角是相对的，如：eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．1．sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sin2α＝( )A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)2．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )A．－eq\f(2,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2)D．－eq\f(11,2)3.已知eq\r(3)sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝( )4．若eq\f(\r(2)cos2θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)))＝eq\r(3)sin2θ，则sin2θ＝( )A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(1,3)5．(多选)下列各式的值等于eq\f(\r(3),2)的是( )A．2sin67.5°cos67.5° B．2cos2eq\f(π,12)－1C．1－2sin215° D．eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)6．(多选)下列四个命题中是真命题的是( )A．∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyC．∀x∈[0，π],eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinxD．sinx＝cosy⇒x＋y＝eq\f(π,2)7．求4sin20°＋tan20°的值为________．8．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________． 9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(α－β)＝eq\f(3,5)，则cos2α＝________．10．已知sinα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，若eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，则tan(α＋β)＝________．一、单选题1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））若，则（       ）A． B． C． D．2．（2022·广东汕头·二模）若，则实数的值为（       ）A． B． C． D．3．（2022·湖北武汉·二模）设，则（       ）A． B． C． D．4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ）A． B． C． D．5．（2022·福建省福州第一中学三模）若，且，则（       ）A． B． C．2 D．26．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））设，，在平面直角坐标系内，点为角终边上任意一点，则的一个对称中心为（       ）A． B． C． D．7．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（       ）A． B． C． D．8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，设函数，，若当对恒成立时，的最大值为，则（       ）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（       ）A．函数的最大值为2B．函数在区间上单调递增C．函数图像的一个对称中心为D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）向量函数，则下述结论正确的有（       ）A．若的图像关于直线对称，则可能为B．周期时，则的图像关于点对称C．若的图像向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则的最小值为D．若在上单调递增，则三、填空题11．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知，则的值为______．12．（2021·江西九江·二模（文））费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________.13．（2022·全国·模拟预测）已知，，则______．14．（2021·广东深圳·二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．1．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．2．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 ( )A． B． C． D．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 ( )A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<04．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 ( )A． B． C． D．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= ( )A．–2 B．–1 C．1 D．26．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则 ( )A． B． C． D．7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若，则 ( )A． B． C． D．8．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是 ( )A． B． C． D．9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则 ( )A． B． C． D．10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 ( )A． B． C． D．1．【答案】C【解析】原式＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3))),2)＋eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α＝1－eq\f(1,2)·[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))]－sin2α＝1－cos2αcoseq\f(π,3)－sin2α＝1－eq\f(cos2α,2)－eq\f(1－cos2α,2)＝eq\f(1,2).2．【答案】A【解析】因为sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).因为tan(π－β)＝eq\f(1,2)＝－tanβ，所以tanβ＝－eq\f(1,2)，则tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).3.【答案】C【解析】由eq\r(3)sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，得2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(\r(2),3)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(\r(2),6)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)))eq\s\