考向14 三角函数的单调性和最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析

考向14三角函数的单调性和最值1.【2022年北京卷第5题】已知函数，则 A.在上单调递减 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.2.【2022年乙卷文科第11题】函数在区间的最小值、最大值分别为A． B． C． D．【答案】D【解析】，当时，；当时，；当时，.所以，;.又，所以;.故选.3．【2022年新高考2卷第9题】函数的图象以中心对称，则A．在单调递减；B．在有2个极值点；C．直线是一条对称轴；D．直线是一条切线．【答案】AD【解析】由题意得：,所以即：，又，所以时，,故．选项A：时，由图象知是单调递减的；选项B：时，由图象知只有1个极值点，由可解得极值点；选项C：时，，直线不是对称轴；选项D：由得：，解得或，从而得：或，所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．1．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．1．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．1．下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))及eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))上是增函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是减函数【答案】B【解析】函数y＝4sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增．故选B.2．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))，则以下结论正确的是( )A．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上单调递减B．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增C．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上单调递减D．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))上单调递增【答案】C【解析】选C.由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))得2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)，－\f(π,3)))，所以f(x)先减后增；由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))得2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以f(x)先增后减；由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))得2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(4π,3)))，所以f(x)单调递减；由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))得2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，\f(5π,3)))，所以f(x)先减后增．3．函数y＝|cosx|的一个单调递增区间是( )A．[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)] B．[0，π]C．[π，eq\f(3π,2)]D．[eq\f(3π,2)，2π]【答案】D【解析】选D.将y＝cosx的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cosx|的图象(如图)．故选D.4．已知函数f(x)＝sin2x＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，则f(x)的最小值为( )A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(\r(2),2)【答案】A【解析】选A.f(x)＝sin2x＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝sin2x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,4)sin2x＋eq\f(3,4)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sinxcosx＝eq\f(3,4)＋eq\f(1－cos2x,4)＋eq\f(\r(3),4)sin2x＝1＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cos2x))＝1＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故选A.5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))对于一切x∈R恒成立，则f(x)的单调递增区间是( )A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)【答案】B【解析】选B.因为f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))对x∈R恒成立，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))为函数f(x)的最大值，即2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，则φ＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，又φ∈(0，2π)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).令2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，则x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．故选B.6．已知函数在处取到最大值，则（）A．奇函数 B．偶函数C．关于点中心对称 D．关于轴对称【答案】B【解析】因为在处取到最大值，即，其中，则，所以，，所以，则为偶函数．故选：B．7．已知函数（，）的最小正周期是，将的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（）A．是函数一条对称轴B．是函数一个对称中心C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减【答案】D【解析】，向左平移个单位长度后所得到的函数是，其中图象过，所以，因为，，所以．因为，所以是函数一条对称轴，故A正确因为，所以是函数一个对称中心，故B正确当时，，所以在区间上单调递增，故C正确当时，，所以在区间上不单调递减，故D错误故选：D8.已知函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7π,12)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0))【解析】由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ(k∈Z)，又因为x∈[－π，0]，所以f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(7π,12)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，0)).9.若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为 .【答案】 eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(只要等于\f(π,2)＋2kπ，k∈Z即可))【解析】易知当y＝sin(x＋φ)，y＝cosx同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx取得最大值2，故sin(x＋φ)＝cosx，则φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为eq\f(π,2).10.函数y＝cos2x＋2cosx的