考向13 简单的三角恒等变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向13简单的三角恒等变换1．【2022年新高考2卷第6题】角满足，则 A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：设则，取，排除A，C；再取则，取，排除B；选D．解法二：由，故，故，即，故，故，故．故选D.2.【2022年北京卷第5题】已知函数，则 （A）在上单调递减 （B）在上单调递增 （C）在上单调递减 （D）在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.3．【2022年浙江卷第13题】若，则，．【答案】【解析】由题，所以，解得．所以．1.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 2.三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式． 4.三角公式求值中变角的解题思路①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．5.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 1.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2.升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4.辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).1.明确二倍角是相对的，如：eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．1．sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sin2α＝( )A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】原式＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3))),2)＋eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α＝1－eq\f(1,2)·[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))]－sin2α＝1－cos2αcoseq\f(π,3)－sin2α＝1－eq\f(cos2α,2)－eq\f(1－cos2α,2)＝eq\f(1,2).2．已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq\f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )A．－eq\f(2,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2)D．－eq\f(11,2)【答案】A【解析】因为sinα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).因为tan(π－β)＝eq\f(1,2)＝－tanβ，所以tanβ＝－eq\f(1,2)，则tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(2,11).3.已知eq\r(3)sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝( )A．－eq\f(17,18)B．eq\f(17,18)C．－eq\f(8,9)D．eq\f(8,9)【答案】C【解析】由eq\r(3)sinα＋cosα＝eq\f(\r(2),3)，得2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(\r(2),3)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(\r(2),6)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),6)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(8,9).故选C.4．若eq\f(\r(2)cos2θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)))＝eq\r(3)sin2θ，则sin2θ＝( )A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(1,3)【答案】C【解析】由题意知eq\f(2（cos2θ－sin2θ）,cosθ－sinθ)＝eq\r(3)sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝eq\r(3)sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，解得sin2θ＝－eq\f(2,3)或sin2θ＝2(舍去)．5．(多选)下列各式的值等于eq\f(\r(3),2)的是( )A．2sin67.5°cos67.5° B．2cos2eq\f(π,12)－1C．1－2sin215° D．eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)【答案】BC【解析】选项A，2sin67.5°cos67.5°＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).选项B，2cos2eq\f(π,12)－1＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).选项C，1－2sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).选项D，eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1.故选BC.6．(多选)下列四个命题中是真命题的是( )A．∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyC．∀x∈[0，π],eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinxD．sinx＝cosy⇒x＋y＝eq\f(π,2)【答案】BC【解析】.因为sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1≠eq\f(1,2)，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以B为真命题；因为eq\r(\f(1－cos2x,2))＝eq\r(\f(1－（1－2sin2x）,2))＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝eq\f(π,2)，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠eq\f(π,2)，所以D为假命题．故选BC.7．求4sin20°＋tan20°的值为________．【答案】eq\r(3)【解析】原式＝4sin20°＋eq\f(sin20°,cos20°)＝eq\f(2sin40°＋sin20°,cos20°)＝eq\f(2sin（60°－20°）＋sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°－sin20°＋sin20°,cos20°)＝eq\r(3).8．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________． 【答案】－eq\f(7\r(2),10)【解析】因为α是第三象限角，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(α－β)＝eq\f(3,5)，则cos2α＝________．【答案】－eq\f(16,65).【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，又因为cos(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(α－β)＝eq\f(3,5)，所以sin(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(α－β)＝eq\f(4,5)，则cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(5,13)×eq\f(4,5)－eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝－eq\f(16,65).10．已知sinα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，若eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，则tan(α＋β)＝________．【答案】eq\f(6,13).【解析】因为sinα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以cosα＝eq\f(3,5).又因为eq\f(sin（α＋β）,cosβ)