考向06函数的奇偶性与周期性、对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（

考向06函数的奇偶性与周期性、对称性1.（2022年北京卷第4题）己知函数，则对任意实数x，有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，故A错误，C正确；，不常数，故BD错误；故选：C．2.（2022年新高考2卷第8题）若函数的定义域为R，且，则（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．3．（2022年甲卷理第5题）函数在区间的图像大致为【答案】A【解析】设，，所以为奇函数，排除BD，令，则，排除C，故选A.4．（2022年乙卷第12题）已知函数，的定义域均为,且，.若的图像关于直线对称，，则A． B． C． D．【答案】D【解析】若的图像关于直线对称，则，因为，所以，故，为偶函数.由，，得.由，得，代入，得，关于点中心对称，所以.由，，得，所以，故，周期为.由，得，又，所以.1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(eq\r(x2＋1)－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值． 3.函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 1．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．【易错点1】判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．【易错点2】函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．【易错点3】不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.1．函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x≠0)是( )A．奇函数，且在(0，3)上是增函数B．奇函数，且在(0，3)上是减函数C．偶函数，且在(0，3)上是增函数D．偶函数，且在(0，3)上是减函数【答案】B【解析】因为f(－x)＝－x＋eq\f(9,－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)为奇函数．又f′(x)＝1－eq\f(9,x2)，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，3)上是减函数．2.已知函数f(x)＝cos＋eq\f(x,x2＋1)－1，若f(a)＝－eq\f(1,3)，则f(－a)＝( )A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(5,3)【答案】D【解析】设g(x)＝f(x)＋1＝－sin2x＋eq\f(x,x2＋1)，易知g(x)是奇函数，则g(a)＝f(a)＋1＝－eq\f(1,3)＋1＝eq\f(2,3)，所以g(－a)＝－g(a)＝－eq\f(2,3)，即f(－a)＋1＝－eq\f(2,3)，所以f(－a)＝－eq\f(5,3).故选D.3．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝x2f(x)【答案】B【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以y＝xf(x)是偶函数．对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．4.在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x<0，,|2－x|，0≤x<1，))其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )A．0.5B．1.5C．2.5D．3.5【答案】C【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.5．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A．y＝x2 B．y＝|x－1|C．y＝|x|－1D．y＝2x【答案】AC【解析】选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.6.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈［0，4］时，f(x)＝x2－4x，则f(2022)＝ .【答案】4【解析】∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，又∵2022＝252×8＋6，∴f(2022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.7.已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，下列结论正确的是 .(填序号)①f(x)的图象关于直线x＝2对称；②f(x)的图象关于点(2，0)对称；③f(x)的最小正周期为4；④y＝f(x＋4)为偶函数．【答案】①③④【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．一、单选题1．（2022·广东佛山·二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（ ）A．的最大值为-a B．的最小值为-aC． D．【答案】D【解析】依题意，，因，则是奇函数，于是得，即，因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；，，，即，，因此，C不正确，D正确.故选：D2．（2022·广西桂林·二模（文））某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除（如公元2000年）或能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）.闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日.狄更斯的出生日是（       ）A．星期五B．星期六C．星期天D．星期一【答案】A【解析】因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，所以小说家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年为闰年，1900不是闰年，又，所以这210年有52个闰年，158个平年，所以共有天，因为，所以狄更斯的出生日是星期五，故选：A.3．（2022·云南昆明·模拟预测（理））对于函数，有下列四个论断：①是增函数②是奇函数③有且仅有一个极值点④的最小值为若其中恰有两个论断正确，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为，故函数是非奇非偶，即无论为何值，②一定错误对函数进行求导，当时，恒大于零，原函数单调递增，故原函数没有极值点和最小值，故选项B、D排除.当时，函数不是增函数，故只能有③④正确；当时，函数，导函数，令，，，在上单调递增，由于，，故，使得，即        ，，在单调递减，，，在单调递增   故函数有且仅有一个极值点，的最小值为故只满足③，排除选项A当时，，令，，，在上单调递增，，，，在单调递减，，，在单调递增   故的最小值为故满足③④故选：C.二、多选题4．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数，，，则（       ）A．的图象关于对称B．的图象没有对称中心C．对任意的，的最大值与最小值之和为D．若，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】由题意知的定义域为，因为，所以的图象关于对称，故A正确；因为的定义域为，且，所以的图象关于对称，故B不正确；因为，所以的图象关于对称，所以对任意的，最大值与最小值之和为，故C正确；由，得，又在上单调递减，且，所以或，解得或，故D正确，故选：ACD.5．（2022·山东淄博·三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（       ）A．的图象关于对称B．C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为【答案】BC【解析】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错；对于B选项，因为且函数为偶函数，所以，可得，所以，，所以，对任意的，，B对；对于C选项，因为，若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；对于D选项，当时，，，所以，，D错.故选：BC.6．（2022·辽宁丹东·一模）设为函数的导函数，已知为偶函数，则（       ）A．的最小值为2 B．为奇函数C．在内为增函数 D．在内为增函数【答案】BCD【解析】，由可得，从而，于是.，取等号时，因为，所以.所以A错误，由，得，因为，所以为奇函数，所以B正确，因为，所以在为增函数，所以C正确，，当时，，当时，，则，综上，当时，，所以在内为增函数，所以D正确，故选：BCD7．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（       ）A．当时，B．任意，C．存在非零实数，使得任意，D．存在非零实数，使得任意，【答案】ABD【解析】对于A，令，则，即，又，；令得：，，，，则由可知：当时，，A正确；对于B，令，则，即，，由A的推导过程知：，，B正确；对于C，为上的增函数，当时，，则；当时，，则，不存在非零实数，使得任意，，C错误；对于D，当时，；由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；当时，为上的增函数，，，，；由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.8．（2022·全国·模拟预测）悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定