考向05函数的单调性及最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向05函数的单调性与最值1.（2022年浙江卷第7题）已知，则（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】因为，，即，所以．故选：C.2.（2022年新高考1卷第7题）设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.3.（2022年北京卷第14题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【答案】①.0（答案不唯一）②.1【解析】若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1（1）函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。（2）函数f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。（3）函数的单调定义中的x1、x2有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。（4）求函数的单调区间必须先求定义域。（5）求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。1．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．(2)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【易错点1】求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．1．下列函数中，定义域是且为增函数的是A．B．C．D．【答案】B【解析】四个函数的图象如下显然B成立．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．2．函数的单调递减区间是A．B．C．D．【答案】D【解析】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选D．【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．3．已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，，，根据指数函数和对数函数的单调性可得：，，，因为函数在上单调递减，且，所以，即.故选：B【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在同一坐标系内画出的图象，由图象可知，在上，恒成立，即，当且仅当或时等号成立，，设，则等价于，即，，再设，原不等式可化为，即，而，，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设，则原不等式等价于，再设，并参变分离求出最值解出实数的取值范围，考查了数形结合的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题．5．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 ( )A． B． C． D．【答案】B【解析】∵时，，，∴，即右移个单位，图像变为原来的倍．如图所示：当时，，令，整理得：，∴（舍），∴，，∴时，成立，即，∴，故选B．一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））下列函数中是减函数的为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A：由，可得为增函数.判断错误；选项B：由，可得为增函数，则是减函数.判断正确；选项C：由，可得是减函数，则为增函数.判断错误；选项D：在上单调递增.判断错误.故选：B2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知函数，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当时函数单调递减，且，当时函数单调递减，且，所以函数在上是单调递减，所以不等式等价于，解得．即不等式的解集为；故选：C3．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数，若且，则有（       ）A．可能是奇函数，也可能是偶函数 B．C．时， D．【答案】D【解析】若是奇函数，则，又因为，与矛盾，所有函数不可能时奇函数，故A错误；令，则，因为，，所以，所以函数为增函数，所以，即，所以，故B错误；因为，所以，，所以，故，即，所以，故C错误；有，即，故D正确.故选：D.4．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令函数，当时，求导得：，则函数在上单调递减，又，，，显然，则有，所以.故选：C5．（2022·青海·模拟预测（理））若，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A,B,令，则，当时，单调递增，且故存在，使得，则当时，递减，当时，递增，由于，此时大小关系不确定，故A,B均不正确；对于C,D,设，则，当时，，故单调递减，所以当时，，即，即，故C错误，D正确，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题设时，即在R上递增，又，而等价于，所以，即，可得.故不等式解集为.故选：B二、多选题7．（2022·江苏无锡·模拟预测）定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（       ）A．在上是“弱减函数”B．在上是“弱减函数”C．若在上是“弱减函数”，则D．若在上是“弱减函数”，则【答案】BCD【解析】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；对于B，，在上，函数单调递减，，，∴在单调递增，故B正确；对于C，若在单调递减，由，得，∴，在单调递增，故C正确；对于D，在上单调递减，在上恒成立，令，，令，，∴在上单调递减，，∴，∴在上单调递减，，∴，在上单调递增，在上恒成立，∴，令，，∴在上单调递增，，∴，综上：，故D正确.故选：BCD.8．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）当时，不等式成立．若，则（       ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】当时，不等式，令，则在上单调递增，因，则，A正确；因，则，B不正确；由知，，有，则，由选项A知，，即，C不正确；由得，，则，D正确.故选：AD三、填空题9．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：，则不等式的解集为____．【答案】【解析】根据题意可得，且为奇函数当时，，则在上单调递增∴在上单调递增则，即，解得∴即的解集为故答案为：．10．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I内单调递增且有界的函数，即，，．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①；②；③；④．【答案】③④【解析】对于①，无界，不符合题意；对于②，不单调，不符合题意；对于③，单调递增，且，则，符合题意；对于④，单调递增，且，则，符合题意．故答案为：③④1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2018·陕西高考真题（理））下列函数中，满足“”的单调递增函数是A．B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D．考点：幂函数、指数函数的单调性．3．（2019·陕西高考真题（理））下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A． B． C． D．【答案】D【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.4．（2017·浙江高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．5．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f(x) ( )A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．6．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.7．(2018北京卷)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足对任意的都成立，且函数在上不是增函数即可，如，，答案不唯一．