2013四川高考数学(理科)试题及参考答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2013四川,理1)设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2-4=0},则A∩B=( ).A.{-2}B.{2}C.{-2,2}D.2.(2013四川,理2)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( ).A.AB.BC.CD.D3.(2013四川,理3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ).4.(2013四川,理4)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:x∈A,2x∈B,则( ).A.p:x∈A,2xBB.p:xA,2xBC.p:xA,2x∈BD.p:x∈A,2xB5.(2013四川,理5)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ).A.2,B.2,C.4,D.4,6.(2013四川,理6)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( ).A.B.C.1D.7.(2013四川,理7)函数的图象大致是( ).8.(2013四川,理8)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( ).A.9B.10C.18D.209.(2013四川,理9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ).A.B.C.D.10.(2013四川,理10)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是( ).A.[1,e]B.[e-1-1,1]C.[1,e+1]D.[e-1-1,e+1]第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2013四川,理11)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是__________.(用数字作答)12.(2013四川,理12)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=__________.13.(2013四川,理13)设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是__________.14.(2013四川,理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是__________.15.(2013四川,理15)设P1,P2,…,Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…,Pn的距离之和最小,则称点P为点P1,P2,…,Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:①若三个点A,B,C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;③若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一;④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013四川,理16)(本小题满分12分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和. 17.(2013四川,理17)(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=,(1)求cosA的值;(2)若,b=5,求向量在方向上的投影.18.(2013四川,理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大;(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望. 19.(2013四川,理19)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值. 20.(2013四川,理20)(本小题满分13分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程. 21.(2013四川,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.答案:A解析:由题意可得,A={-2},B={-2,2},∴A∩B={-2}.故选A.2.答案:B解析:复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称.3.答案:D解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选D.4.答案:D5.答案:A解析:由图象可得,,∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得,,令+φ=2kπ+,k∈Z,解得,φ=2kπ-,k∈Z,又∵φ∈,则取k=0,∴φ=.故选A.6.答案:B解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.7.答案:C解析:由函数解析式可得,该函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故排除A;取x=-1,y==>0,故再排除B;当x→+∞时,3x-1远远大于x3的值且都为正,故→0且大于0,故排除D,选C.8.答案:C解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间Ω={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有20个基本事件,而lga-lgb=,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使的值相等,则不同值的个数为20-2=18(个),故选C.9.答案:C解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率.10.答案:A解析:由题意可得,y0=sinx0∈[-1,1],而由f(x)=可知y0∈[0,1],当a=0时,f(x)=为增函数,∴y0∈[0,1]时,f(y0)∈[1,].∴f(f(y0))≥>1.∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))=y0成立,故B,D错;当a=e+1时,f(x)=,当y0∈[0,1]时,只有y0=1时f(x)才有意义,而f(1)=0,∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故C错.故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.答案:10解析:由二项式展开系数可得,x2y3的系数为==10.12.答案:2解析:如图所示,在平行四边形ABCD中,+==2,∴λ=2.13.答案:解析:∵sin2α=-sinα,∴2sinαcosα=-sinα.又∵α∈,∴cosα=.∴sinα=.∴sin2α=,cos2α=2cos2α-1=.∴tan2α==.14.答案:(-7,3)解析:当x≥0时,令x2-4x<5,解得,0≤x<5.又因为f(x)为定义域为R的偶函数,则不等式f(x+2)<5等价于-5<x+2<5,即-7<x<3;故解集为(-7,3).15.答案:①④解析:由“中位点”可知,若C在线段AB上,则线段AB上任一点都为“中位点”,C也不例外,故①正确;对于②假设在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,如图所示,点P为斜边AB中点,设腰长为2,则|PA|+|PB|+|PC|=|AB|=,而若C为“中位点”,则|CB|+|CA|=4<,故②错;对于③,若B,C三等分AD,若设|AB|=|BC|=|CD|=1,则|BA|+|BC|+|BD|=4=|CA|+|CB|+|CD|,故③错;对于④,在梯形ABCD中,对角线AC与BD的交点为O,在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M,则在△MAC中,|MA|+|MC|>|AC|=|OA|+|OC|,同理在△MBD中,|MB|+|MD|>|BD|=|OB|+|OD|,则得,|MA|+|MB|+|MC|+|MD|>|OA|+|OB|+|OC|+|OD|,故O为梯形内唯一中位点是正确的.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.解:设该数列公差为d,前n项和为Sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列的前n项和Sn=4n或Sn=.17.解:(1)由2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=.则cos(A-B+B)=,即cosA=.(2)由cosA=,0<A<π,得sinA=,由正弦定理,有,所以,sinB=.由题知a>b,则A>B,故.根据余弦定理,有=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.18.解:(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个

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