2009年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）选择题（每小题5分）i是虚数单位，=（A）1+2i（B）-1-2i（C）1-2i（D）-1+2i（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6（B）7（C）8（D）23（3）命题“存在R，0”的否定是（A）不存在R,>0（B）存在R,0（C）对任意的R,0（D）对任意的R,>0（4）设函数则A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A26B35C40D57(6）设若的最小值为A8B4C1D（7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度（8）已知函数若则实数的取值范围是ABCD（9）．设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的成面积之比=（A）（B）（C）（D）（10）.0＜b＜1+a,若关于x的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（A）-1＜a＜0（B）0＜a＜1（C）1＜a＜3（D）3＜a＜6二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_______(13)设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______(14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则a=___________(15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是（16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（满分12分）在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA(I)求AB的值：(II)求sin的值（18）（满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。（19）（满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值（20）（满分12分）已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率；当时，求函数的单调区间与极值。（21）（满分14分）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。求椭圆的离心率求直线AB的斜率；设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值（22）（满分14分）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+,=-+…..+(-1,n若==1，d=2，q=3，求的值；若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；(Ⅲ)若正数n满足2nq，设的两个不同的排列，，证明。2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）D（2）B（3）D（4）D（5）C（6）B（7）A（8）C（9）A（10）C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。（11）40（12）（13）（14）1（15）（16）324三．解答题（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是sinA=从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=所以sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而P(A2)=P(X=2)=,P(A3)=P(X=3)=,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（II）证明：因为（III）由（I）可得，w方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解：（II）以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗（21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分解：由//且，得，从而整理，得，故离心率解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得，将代入②中，解得.(III)解法一：由（II）可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故当时，同理可得解法二：由（II）可知当时，得,由已知得由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形.由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以.当时同理可得（22）本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。（Ⅰ）解：由题设，可得所以，（Ⅱ）证明：由题设可得则①②式减去②式，得式加上②式，得③式两边同乘q，得所以，(Ⅲ)证明：因为所以若，取i=n若，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且当时，得即，…，又所以因此当同理可得，因此综上，选择填空解析2008年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•天津）i是虚数单位，=（ ）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．【解答】解：，故选A．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题． 2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，zmax=5，故选D．【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（ ）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．菁优网版权所有【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论．【解答】解：f（x）==﹣=﹣sin2x所以T=π，且为奇函数．故选A．【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质． 4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ）A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力． 5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（ ）A．6 B．2 C． D．【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，椭圆方程为所以d=2，故选B【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用 6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（ ）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a＞﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，所以，故选A．【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系． 7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（ ）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值