2010年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2010年高考天津卷理科一、选择题（1）i是虚数单位，复数 （A）1＋i （B）5＋5i （C）-5-5i （D）-1－i（2）函数f（x）=的零点所在的一个区间是（A）（－2，－1） （B）（－1,0） （C）（0,1） （D）（1,2）（3）命题“若f（x）是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是 （A）若f（x）是偶函数，则f（-x）是偶函数（B）若f（x）不是奇函数，则f（-x）不是奇函数 （C）若f（-x）是奇函数，则f（x）是奇函数（D）若f（-x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写 （A）i＜3？ （B）i＜4？ （C）i＜5？ （D）i＜6？（5）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 （A） （B）（C）（D）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 （A）或5（B）或5 （C） （D）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A= （A）（B）（C）（D）（8）若函数f（x）=,若f（a）>f（-a）,则实数a的取值范围是 （A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）（9）设集合A=若AB,则实数a,b必满足 （A）（B） （C） （D）（10）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（A）288种 （B）264种（C）240种（D）168种二、填空题（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_________和______。（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________（13）已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为_________（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若,则的值为_____。（15）如图，在中，,,,则________．（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题（17）（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值。（18）．（本小题满分12分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。（19）（本小题满分12分）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明平面（3）求二面角的正弦值。（20）（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值（21）（本小题满分14分） 已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（Ⅲ）如果，且，证明（22）（本小题满分14分） 在数列中，，且对任意．，，成等差数列，其公差为。（Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）（Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。（i）设1.证明是等差数列；（ii）若，证明2010参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）A（2）B（3）B（4）D（5）B（6）C（7）A（8）C（9）D（10）B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。（11）24:23（12）（13）（14）（15）（16）三、解答题（17）本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。（1）解：由，得 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（Ⅱ）解：由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以18．本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。（1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则==（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 = 所以的分布列是01236P（19）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。方法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 点A为坐标原点，设,依题意得, ,, 解：易得, 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为 证明：易知,, 于是·=0，·=0．因此，,,又 所以平面（Ⅲ）解：设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。 于是，从而 所以二面角的正弦值为 方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1．CE=连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1．故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（Ⅱ）证明：连接AC，设AC与DE交点N因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE． 连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED（Ⅲ）解：连接A1N．FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知，所以，又所以，在 连接A1C1,A1F在 。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为（20）本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分（Ⅰ）解：由，得，再由，得 由题意可知， 解方程组得a=2,b=1 所以椭圆的方程为（Ⅱ）解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）, 于是A,B两点的坐标满足方程组 由方程组消去Y并整理，得 由得 设线段AB是中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得 由 整理得 综上（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）解：f’ 令f’（x）=0,解得x=1 当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表X（）1（）f’（x）+0-f（x）极大值 所以f（x）在（）内是增函数，在（）内是减函数。 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=（Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2-x）,得g（x）=（2-x） 令F（x）=f（x）-g（x）,即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’（x）>0,从而函数F（x）在[1,+∞）是增函数。又F（1）=F（x）>F（1）=0,即f（x）>g（x）．（Ⅲ）证明：（1） 若（2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>．因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2．（22）本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。（Ⅰ）证明：由题设，可得。 所以 = =2k（k+1） 由=0，得 于是。 所以成等比数列。（Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。（Ⅱ）证明：，，可得，从而=1．由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： 当n为偶数时，设n=2m（） 若m=1,则． 若m≥2，则 + 所以（2）当n为奇数时，设n=2m+1（） 所以从而··· 综合（1）（2）可知，对任意,,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差数列，公差为1。 （ii）证明：因为所以。 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得=，故。 从而。 所以，由，可得。 于是，由（i）可知 以下同证法一。选择填空解析2010年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•天津）i是虚数单位，复数=（ ）A．1+i B．5+5i C．﹣5﹣5i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数．【分析】进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为﹣1．【解答】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为﹣1．∴=．故选A．【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数． 2．（5分）（2010•天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间．【解答】解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，故选B．【点评】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题． 3．（5分）（2010•天津）命题“若f（x）是奇函数，则f（﹣x）是奇函数”的否命题是（ ）A．若f（x）是偶函数，则f（﹣x）是偶函数B．若f（x）不是奇函数，则f（﹣x）不是奇函数C．若f（﹣x）是奇函数，则f（x）是奇函数D．若f（﹣x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数【考点】四种命题．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】用否命题的定义来判断．【解答】解：否命题是同时否定命题的条件结论，故由否命题的定义可知B项是正确的．故选B【点评】本题主要考查否命题的概念，注意否命题与命题否定的区别． 4．（5分）（2010•天津）阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（ ）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．菁优网版权所有【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Si循环前/21第一圈是13第二圈是﹣