2015年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集，集合，集合，则集合（）A． B． C． D．2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A． B． C． D．3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A． B． C． D．4．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，在圆中，是弦的三等分点，弦，分别经过点，若，，，则线段的长为（）A． B．3 C． D．6．已知双曲线（）的一条渐近线过点（），且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．7．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．8．已知函数函数，其中，若函数恰有个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题9．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为．11．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．12．在的展开式中，的系数为．13．在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，则的值为．14．在等腰梯形中，已知。动点和分别在线段和上，且，则的最小值为．三、解答题15．已知函数，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间内的最大值和最小值．16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名。从这名运动员中随机选择人参加比赛。（Ⅰ）设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（Ⅱ）设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望．17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为棱上的点。若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长。18．已知数列满足（为实数，且），，，，且，，成等差数列。（Ⅰ）求的值和的通项公式；（Ⅱ）设，，求数列的前项和．19．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，．（Ⅰ）求直线的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围。20．已知函数其中，且.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；（Ⅲ）若关于的方程（为实数）有两个正实数根，求证：．2015年高考天津市理科数学真题答案一、选择题1．答案：A解析过程：,所以，选A2．答案：C解析过程：不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值，选C3．答案：B解析过程：输入；不成立；不成立成立输出,选B4．答案：A解析过程：，所以“”是“”的充分不必要条件，选A5．答案：A解析过程：由相交弦定理可知，，又因为是弦的三等分点，所以，所以，选A6．答案：D解析过程：双曲线（）的渐近线方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解得，所以双曲线方程为，选D7．答案：C解析过程：因为函数为偶函数，所以，即，所以所以，选C8．答案：D解析过程：由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.选D二、填空题9．答案：-2解析过程：是纯虚数，所以，即10．答案：解析过程：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积.11．答案：解析过程：两曲线的交点坐标为，所以它们所围成的封闭图形的面积.12．答案：解析过程：展开式的通项为，由得r=2，所以，所以该项系数为13．答案：解析过程：因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.14．答案：解析过程：因为，，，，三、解答题15．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值解析过程：（Ⅰ）解：由题意得=所以，的最小正周期（Ⅱ）解：因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，.所以，在区间上的最大值为，最小值为.2116．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析解析过程：（Ⅰ）解：由题意得所以，事件发生的概率为.（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.所以，随见变量的分布列为随机变量的数学期望17．答案：见解析解析过程：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,,,,.又因为M,N分别为和的中点，得,.（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量.=.由此可得，又因为直线平面，所以平面．（Ⅱ）解：，．设为平面的法向量，则即不妨设，可得.．设为平面的法向量，则又，得不妨设，可得．因此有，于是．所以，二面角的正弦值为。（Ⅲ）解：依题意，可设，其中，则，从而．又为平面的一个法向量，由已知，得=，整理得，又因为，解得．所以，线段的长为．18．答案：见解析解析过程：（Ⅰ）解：由已知，有，即，所以．又因为，故，由，得．当时，；当时，．所以，的通项公式为（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得.设的前n项和为，则，，上述两式相减，得整理得，.所以，数列的前n项和为，．19．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）解析过程：（Ⅰ）解：由已知有，又由，可得.设直线的斜率为，则直线的方程为．由已知，有+，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去y，整理得，解得，或.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，解得，所以椭圆的方程为.（Ⅲ）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，得，即，与椭圆方程联立消去，整理得．又由已知，得，解得，或．设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.①当时，有，因此，于是，得.②当时，有，因此，于是，得.综上，直线的斜率的取值范围是.20．答案：见解析解析过程：（Ⅰ）解：由=，可得==，其中，且.下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时.令=0，解得，或.当变化时，，的变化情况如下表：↘↗↘所以，在，上单调递减，在内单调递增。（2）当为偶数时.当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则．由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有．（Ⅲ）证明：不妨设．由（Ⅱ）知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减．又由（Ⅱ）知，可得．类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，．设方程的根为，可得．因为在上单调递增，且，因此．由此可得．因为，所以，故.所以，．