2017年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试天津数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式.其中S表示棱柱的底面面积， 其中表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合，则（A）（B）（C）（D）（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A）（B）1（C）（D）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（A）0（B）1（C）2（D）3（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（6）已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（A） （B） （C） （D）（7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A）， （B）， （C）， （D），（8）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为.（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.（11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.（12）若，，则的最小值为___________.（13）在中，，，.若，，且，则的值为___________.（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.16.（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.18.（本小题满分13分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.（19）（本小题满分14分）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.（20）（本小题满分14分）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.天津理数答案1-4BDCA  5-8BCAA9.−2；10.；11.2；12.4；13.；14.108015.（Ⅰ）解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.16.（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（Ⅱ）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为.（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.18.【解析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得①.由，可得②，联立①②，解得，，由此可得.所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.（II）解：设数列的前项和为，由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.19.（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.20.（Ⅰ）解：由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：x+-+↗↘↗所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.（Ⅱ）证明：由，得，.令函数，则.由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.令函数，则.由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此，当时，，可得.所以，.（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.选择填空解析第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年天津，理1，5分】设集合，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，故选B．（2）【2017年天津，理2，5分】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）（A）（B）1（C）（D）3【答案】D【解析】目标函数为四边形及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，故选D．（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】依次为，，输出，故选C．（4）【2017年天津，理4，5分】设，则“”是“”的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，不满足，所以是充分不必要条件，故选A．（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（） （A） （B）（C）（D）【答案】B【解析】由题意得，故选B．（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，，所以即，，所以，故选C．（7）【2017年天津，理7，5分】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则（）（A）， （B），（C），（D），【答案】A【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】不等式为，当时，式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当，式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上，故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，理9，5分】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．【答案】【解析】为实数，则．（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【答案】【解析】设正方体边长为，则，外接球直径为．（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为．【答案】2【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若，，则的最小值为．【答案】4【解析】，当且仅当时取等号．（13）【2017年天津，理13，5分】在中，，，．若，，且，则的值为．【答案】【解析】，，则．（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）【答案】1080【解析】．