2016年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2023-10-27 · U3 上传 · 21页 · 386.5 K

2016年天津高考数学试卷理科) 一、选择题1.(5分)(2016•天津)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=( )A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}2.(5分)(2016•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+5y的最小值为( )A.﹣4 B.6 C.10 D.173.(5分)(2016•天津)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )A.1 B.2 C.3 D.44.(5分)(2016•天津)阅读如图的程序图,运行相应的程序,则输出S的值为( )A.2 B.4 C.6 D.85.(5分)(2016•天津)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n﹣1+a2n<0”的( )A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.(5分)(2016•天津)已知双曲线﹣=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=17.(5分)(2016•天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为( )A.﹣ B. C. D.8.(5分)(2016•天津)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )A.(0,] B.[,] C.[,]∪{} D.[,)∪{} 二、填空题9.(5分)(2016•天津)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1﹣bi)=a,则的值为 .10.(5分)(2016•天津)(x2﹣)8的展开式中x7的系数为 (用数字作答)11.(5分)(2016•天津)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m312.(5分)(2016•天津)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为 .13.(5分)(2016•天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a﹣1|)>f(﹣),则a的取值范围是 .14.(5分)(2016•天津)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B,设C(p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为 . 三、计算题15.(13分)(2016•天津)已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.16.(13分)(2016•天津)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.17.(13分)(2016•天津)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.(1)求证:EG∥平面ADF;(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;(3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.18.(13分)(2016•天津)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d,对任意的n∈N+,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=b﹣b,n∈N+,求证:数列{cn}是等差数列;(2)设a1=d,Tn=(﹣1)kbk2,n∈N*,求证:.19.(14分)(2016•天津)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴于点H,若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.20.(14分)(2016•天津)设函数f(x)=(x﹣1)3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于. 2016年天津市高考数学试卷(理科)参考答案试题解析 一、选择题1.(5分)(2016•天津)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x﹣2,x∈A},则A∩B=( )A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4}【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值,确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:把x=1,2,3,4分别代入y=3x﹣2得:y=1,4,7,10,即B={1,4,7,10},∵A={1,2,3,4},∴A∩B={1,4},故选:D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)(2016•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+5y的最小值为( )A.﹣4 B.6 C.10 D.17【分析】作出不等式组表示的平面区域,作出直线l0:2x+5y=0,平移直线l0,可得经过点(3,0)时,z=2x+5y取得最小值6.【解答】解:作出不等式组表示的可行域,如右图中三角形的区域,作出直线l0:2x+5y=0,图中的虚线,平移直线l0,可得经过点(3,0)时,z=2x+5y取得最小值6.故选:B.【点评】本题考查简单线性规划的应用,涉及二元一次不等式组表示的平面区域,关键是准确作出不等式组表示的平面区域. 3.(5分)(2016•天津)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=( )A.1 B.2 C.3 D.4【分析】直接利用余弦定理求解即可.【解答】解:在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC,可得:13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=﹣4(舍去).故选:A.【点评】本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,考查计算能力. 4.(5分)(2016•天津)阅读如图的程序图,运行相应的程序,则输出S的值为( )A.2 B.4 C.6 D.8【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可.【解答】解:第一次判断后:不满足条件,S=2×4=8,n=2,i>4,第二次判断不满足条件n>3:第三次判断满足条件:S>6,此时计算S=8﹣6=2,n=3,第四次判断n>3不满足条件,第五次判断S>6不满足条件,S=4.n=4,第六次判断满足条件n>3,故输出S=4,故选:B.【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键. 5.(5分)(2016•天津)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n﹣1+a2n<0”的( )A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可.【解答】解:{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,若“q<0”是“对任意的正整数n,a2n﹣1+a2n<0”不一定成立,例如:当首项为2,q=﹣时,各项为2,﹣1,,﹣,…,此时2+(﹣1)=1>0,+(﹣)=>0;而“对任意的正整数n,a2n﹣1+a2n<0”,前提是“q<0”,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n﹣1+a2n<0”的必要而不充分条件,故选:C.【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 6.(5分)(2016•天津)已知双曲线﹣=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1【分析】以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,利用四边形ABCD的面积为2b,求出A的坐标,代入圆的方程,即可得出结论.【解答】解:以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,设A(x,x),则∵四边形ABCD的面积为2b,∴2x•bx=2b,∴x=±1将A(1,)代入x2+y2=4,可得1+=4,∴b2=12,∴双曲线的方程为﹣=1,故选:D.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 7.(5分)(2016•天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为( )A.﹣ B. C. D.【分析】运用向量的加法运算和中点的向量表示,结合向量的数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值.【解答】解:由DD、E分别是边AB、BC的中点,DE=2EF,可得=(+)•(﹣)=(+)•(﹣)=(+)•(﹣)=2﹣•﹣2=﹣•1•1•﹣=.故选:B.【点评】本题考查了数量积的定义和性质,注意运用向量的中点的表示,考查计算能力,属于中档题. 8.(5分)(2016•天津)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )A.(0,] B.[,] C.[,]∪{} D.[,)∪{}【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围,再根据f(x)为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围.【解答】解:y=loga(x+1)+1在[0,+∞)递减,则0<a<1,函数f(x)在R上单调递减,则则:;解得,;由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2﹣x有且仅有一个解,故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x同样有且仅有一个解,当3a>2即a>时,联立|x2+(4a﹣3)+3a|=2﹣x,则△=(4a﹣2)2﹣4(3a﹣2)=0,解得a=或1(舍去),当1≤3a≤2时,由图象可知,符合条件,综上:a的取值范围为[,]∪{},故选:C.【点评】本题考查了方程的解个数问题,以及参数的取值范围,考查了学生的分析问题,解决问题的能力,以及数形结合的思想,属于中档题. 二、填空题9.(5分)(2016•天津)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1﹣bi)=a,则的值为 2 .【分析】根据复数相等的充要条件,构造关于a,b的方程,解得a,b的值,进而可得答案.【解答】解:∵(1+i)(1﹣bi)=1+b+(1﹣b)i=a,a,b∈R,∴,解得:,∴=2,故答案为:2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算,复数相等的充要条件,难度不大,属于基础题. 10.(5分)(2016•天津)(x2﹣)8的展开式中x7的系数为 ﹣56 (用数字作答)【分析】利用通项公式即可得出.【解答】解:Tr+1==x16﹣3r,令16﹣3r=7,解得r=3.∴(x2﹣)8的展开式中x7的系数为=﹣56.故答案为:﹣56.【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 11.(5分)(2016•天津)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 2 m3【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是

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