2008年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2023-10-27 · U3 上传 · 27页 · 456.1 K

2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)HYPERLINKhttp://www.zxsx.com/数学(理工类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第I卷1至2页,第II卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项: 1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共10小题,每小题5分,共50分.参考公式: 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 球的体积公式 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位,()A. B. C. D.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.53.设函数,则是()A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是()A. B.C. D.5.设椭圆上一点到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则到右准线的距离为()A.6 B.2 C. D.6.设集合,,,则的取值范围是()A. B.C.或 D.或7.设函数的反函数为,则()A.在其定义域上是增函数且最大值为1B.在其定义域上是减函数且最小值为0C.在其定义域上是减函数且最大值为1D.在其定义域上是增函数且最小值为08.已知函数则不等式的解集是()A. B.C. D.9.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上是增函数.令,,,则()A. B. C. D.10.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有()A.1344种 B.1248种 C.1056种 D.960种2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项:1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.3.本卷共12小题,共100分.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11.的二项展开式中的系数是(用数字作答).12.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为.BACD13.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称,直线与圆相交于两点,且,则圆的方程为.14.如图,在平行四边形中,,,则.15.已知数列中,,,则.16.设,若仅有一个常数使得对于任意的,都有满足方程,这时的取值的集合为.三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.18.(本小题满分12分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.(Ⅰ)求乙投球的命中率;(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)ABCDP如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知,,,,.(Ⅰ)证明平面;(Ⅱ)求异面直线与所成的角的大小;(Ⅲ)求二面角的大小.20.(本小题满分12分)已知函数,其中.(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式;(Ⅱ)讨论函数的单调性;(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.21.(本小题满分14分)已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.22.(本小题满分14分)在数列与中,,,数列的前项和满足,为与的等比中项,.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)求数列与的通项公式;(Ⅲ)设,证明.2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.1.A 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.11.40 12.24 13. 14.315. 16.三、解答题17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.(Ⅰ)解法一:因为,所以,于是..解法二:由题设得,即.又,从而,解得或.因为,所以.(Ⅱ)解:因为,故.,.所以,.18.本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.(Ⅰ)解:设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件,由题意得,解得或(舍去),所以乙投球的命中率为.(Ⅱ)解:由题设和(Ⅰ)知,,,.可能的取值为0,1,2,3,故,,,.的分布列为的数学期望.19.本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.(Ⅰ)证明:在中,由题设,,,可得,于是.在矩形中,,又,所以平面.(Ⅱ)解:由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角.ABCDPHE在中,由余弦定理得.由(Ⅰ)知平面,平面,所以,因而,于是是直角三角形,故.所以异面直线与所成的角的大小为.(Ⅲ)解:过点作于,过点作于,连结.因为平面,平面,所以.又,因而平面,故为在平面内的射影.由三垂线定理可知,.从而是二面角的平面角.由题设可得,,,,,.于是在中,.所以二面角的大小为.20.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)解:,由导数的几何意义得,于是.由切点在直线上可得,解得.所以函数的解析式为.(Ⅱ)解:.当时,显然,这时在,内是增函数.当时,令,解得.当变化时,,的变化情况如下表:↗极大值↘↘极小值↗所以在,内是增函数,在,内是减函数.(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,在上的最大值为与中的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当即对任意的成立.从而得,所以满足条件的的取值范围是.21.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.满分14分.(Ⅰ)解:设双曲线的方程为,由题设得解得所以双曲线的方程为.(Ⅱ)解:设直线的方程为,点,的坐标满足方程组将①式代入②式,得,整理得.此方程有两个不等实根,于是,且.整理得.③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足,.从而线段的垂直平分线的方程为.此直线与轴,轴的交点坐标分别为,.由题设可得.整理得,.将上式代入③式得,整理得,.解得或.所以的取值范围是.22.本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分.(Ⅰ)解:由题设有,,解得.由题设又有,,解得.(Ⅱ)解法一:由题设,,,及,,进一步可得,,,,猜想,,.先证,.当时,,等式成立.当时用数学归纳法证明如下:(1)当时,,等式成立.(2)假设当时等式成立,即,.由题设,,①. ②①的两边分别减去②的两边,整理得,从而.这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的成立.综上所述,等式对任何的都成立.再用数学归纳法证明,.(1)当时,,等式成立.(2)假设当时等式成立,即,那么.这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的都成立.解法二:由题设,①.②①的两边分别减去②的两边,整理得,,所以,,……,.将以上各式左右两端分别相乘,得,由(Ⅰ)并化简得,.上式对,也成立.由题设有,所以,即,.令,则,即.由得,.所以.即,.解法三:由题设有,,所以,,……,.将以上各式左右两端分别相乘,得,化简得,.由(Ⅰ),上式对,也成立.所以,.上式对也成立.以下同解法二,可得,.(Ⅲ)证明:.当,时,.注意到,故.当,时,.当,时,.当,时,.所以,从而时,有总之,当时有,即.选择填空解析2008年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)(2008•天津)i是虚数单位,=( )A.﹣1 B.1 C.﹣i D.i【考点】复数代数形式的混合运算.菁优网版权所有【分析】复数的分子复杂,先化简,然后再化简整个复数,可得到结果.【解答】解:,故选A.【点评】本题考查复数的代数形式的运算,i的幂的运算,是基础题. 2.(5分)(2008•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=5x+y的最大值为( )A.2 B.3 C.4 D.5【考点】简单线性规划的应用.菁优网版权所有【专题】计算题.【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值.【解答】解:满足约束条件的可行域如图,由图象可知:目标函数z=5x+y过点A(1,0)时z取得最大值,zmax=5,故选D.【点评】在解决线性规划的问题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解. 3.(5分)(2008•天津)设函数,则函数f(x)是( )A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的奇偶性.菁优网版权所有【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式,然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论.【解答】解:f(x)==﹣=﹣sin2x所以T=π,且为奇函数.故选A.【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质. 4.(5分)(2008•天津)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.a⊂α,b⊥β,α∥β D.a⊂α,b∥β,α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可.【解答】解:A、B、D的反例如图.故选C.【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质,同时考查充分条件的含义及空间想象能力. 5.(5分)(2008•天津)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为( )A.6 B.2 C. D.【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有【专题】计算题.【分析】根据椭圆定义,求出m,利用第二定义求出到右准线的距离,注意右焦点右准线的对应关系.【解答】解:由椭圆第一定义知a=2,所以m2=4,椭圆方程为所以d=2,故选B【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用 6.(5分)(2008•天津)设集合S={x||x﹣2|>3},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取值范围是( )A.﹣3<a<﹣1 B.﹣3≤a≤﹣1 C.a≤﹣3或a≥﹣1 D.a<﹣3或a>﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有【分析

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