辽宁省大连市2018年中考数学真题试题一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)1.﹣3的绝对值是( )A.3 B.﹣3 C. D.解:|﹣3|=﹣(﹣3)=3.故选A.2.在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解:点(﹣3,2)所在的象限在第二象限.故选B.3.计算(x3)2的结果是( )A.x5 B.2x3 C.x9 D.x6解:(x3)2=x6.故选D.4.如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图,图中∠α的度数为( )A.45° B.60° C.90° D.135°解:如图,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠1=45°.∵l∥l',∴∠α=∠1=45°.故选A.5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体解:由三视图知这个几何体是三棱柱.故选C.6.如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=5,AC=6,则BD的长是( )A.8 B.7 C.4 D.3解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD.在Rt△AOB中,∠AOB=90°,根据勾股定理,得:OB===4,∴BD=2OB=8.故选A.7.一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,随机摸出一个小球,记下标号后放回,再随机摸出一个小球并记下标号,两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是( )A. B. C. D.解:列表得:所有等可能的情况数有9种,它们出现的可能性相同,其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果,所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为.故选D.8.如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为( )A.10×6﹣4×6x=32 B.(10﹣2x)(6﹣2x)=32 C.(10﹣x)(6﹣x)=32 D.10×6﹣4x2=32解:设剪去的小正方形边长是xcm,则纸盒底面的长为(10﹣2x)cm,宽为(6﹣2x)cm,根据题意得:(10﹣2x)(6﹣2x)=32.故选B.9.如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(2,3),B(6,1)两点,当k1x+b<时,x的取值范围为( )A.x<2 B.2<x<6 C.x>6 D.0<x<2或x>6解:由图象可知,当k1x+b<时,x的取值范围为0<x<2或x>6.故选D.10.如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为( )A.90°﹣α B.α C.180°﹣α D.2α解:由题意可得:∠CBD=α,∠ACB=∠EDB.∵∠EDB+∠ADB=180°,∴∠ADB+∠ACB=180°.∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°,∠CBD=α,∴∠CAD=180°﹣α.故选C.二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)11.因式分解:x2﹣x=.解:x2﹣x=x(x﹣1).故答案为:x(x﹣1).12.五名学生一分钟跳绳的次数分别为189,195,163,184,201,该组数据的中位数是.解:这5名学生跳绳次数从小到大排列为163、184、189、195、201,所以该组数据的中位数是189.故答案为:189.13.一个扇形的圆心角为120°,它所对的弧长为6πcm,则此扇形的半径为cm.解:∵L=,∴R==9.故答案为:9.14.《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?设有x匹大马,y匹小马,根据题意可列方程组为.解:由题意可得:.故答案为:.15.如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为m.(精确到0.1m.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)解:过D作DE⊥AB,∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,∴∠ADE=53°.∵BC=DE=6m,∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m,∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m.故答案为:9.5.16.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E为AD上一点,且∠ABE=30°,将△ABE沿BE翻折,得到△A′BE,连接CA′并延长,与AD相交于点F,则DF的长为.解:如图作A′H⊥BC于H.∵∠ABC=90°,∠ABE=∠EBA′=30°,∴∠A′BH=30°,∴A′H=BA′=1,BH=A′H=,∴CH=3﹣.∵△CDF∽△A′HC,∴=,∴=,∴DF=6﹣2.故答案为:6﹣2.三、解答题(本题共4小题,其中17、18、19题各9分,20题12分,共39分)17.计算:(+2)2﹣+2﹣2解:原式=3+4+4﹣4+=.18.解不等式组:解:∵解不等式①得:x≤﹣1,解不等式②得:x≤3,∴不等式组的解集为x≤﹣1.19.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E、F在AC上,且AF=CE.求证:BE=DF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB.∵AE=CF,∴OE=OF.在△BEO和△DFO中,,∴△BEO≌△DFO,∴BE=DF.20.某校为了解学生最喜欢的球类运动情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动.以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.根据以上信息,解答下列问题:(1)被调查的学生中,最喜欢乒乓球的有人,最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为%;(2)被调查学生的总数为人,其中,最喜欢篮球的有人,最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为%;(3)该校共有450名学生,根据调查结果,估计该校最喜欢排球的学生数.解:(1)由题可得:被调查的学生中,最喜欢乒乓球的有4人,最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%.故答案为:4;32;(2)被调查学生的总数为10÷20%=50人,最喜欢篮球的有50×32%=16人,最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比=×100%=24%;故答案为:50;16;24;(3)根据调查结果,估计该校最喜欢排球的学生数为×450=54人.四、解答题(本题共3小题,其中21、22题各9分,23题10分,共28分)21.甲、乙两名学生练习打字,甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同.已知甲平均每分钟比乙少打20个字,求甲平均每分钟打字的个数.解:设甲平均每分钟打x个字,则乙平均每分钟打(x+20)个字,根据题意得:=,解得:x=60,经检验,x=60是原分式方程的解.答:甲平均每分钟打60个字.22.【观察】1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,28×2=96,49×1=49.【发现】根据你的阅读回答问题:(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为;(2)设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是.【类比】观察下列两数的积:1×59,2×58,3×57,4×56,…,m×n,…,56×4,57×3,58×2,59×1.猜想mn的最大值为,并用你学过的知识加以证明.解:【发现】(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为625.故答案为:625;(2)设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是a+b=50.故答案为:a+b=50;【类比】由题意,可得m+n=60,将n=60﹣m代入mn,得mn=﹣m2+60m=﹣(m﹣30)2+900,∴m=30时,mn的最大值为900.故答案为:900.23.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求AC的长.解:(1)如图,连接BD.∵∠BAD=90°,∴点O必在BD上,即:BD是直径,∴∠BCD=90°,∴∠DEC+∠CDE=90°.∵∠DEC=∠BAC,∴∠BAC+∠CDE=90°.∵∠BAC=∠BDC,∴∠BDC+∠CDE=90°,∴∠BDE=90°,即:BD⊥DE.∵点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线;(2)∵DE∥AC.∵∠BDE=90°,∴∠BFC=90°,∴CB=AB=8,AF=CF=AC.∵∠CDE+∠BDC=90°,∠BDC+∠CBD=90°,∴∠CDE=∠CBD.∵∠DCE=∠BCD=90°,∴△BCD∽△DCE,∴,∴,∴CD=4.在Rt△BCD中,BD==4同理:△CFD∽△BCD,∴,∴,∴CF=,∴AC=2AF=.五、解答题(本题共3小题,其中24题11分,25、26题各12分,共35分)24.如图1,直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B,将线段AB绕点A顺时针旋转90°,得到AC,连接BC,将△ABC沿射线BA平移,当点C到达x轴时运动停止.设平移距离为m,平移后的图形在x轴下方部分的面积为S,S关于m的函数图象如图2所示(其中0<m≤a,a<m≤b时,函数的解析式不同).(1)填空:△ABC的面积为;(2)求直线AB的解析式;(3)求S关于m的解析式,并写出m的取值范围.解:(1)结合△ABC的移动和图2知,点B移动到点A处,就是图2中,m=a时,S=S△A'B'D=,点C移动到x轴上时,即:m=b时,S=S△A'B'C'=S△ABC=.故答案为:,.(2)如图2,过点C作CE⊥x轴于E,∴∠AEC=∠BOA=90°.∵∠BAC=90°,∴∠OAB+∠CAE=90°.∵∠OAB+∠OBA=90°,∴∠OBA=∠CAE,由旋转知,AB=AC,∴△AOB≌△CEA,∴AE=OB,CE=OA,由图2知,点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍,∴OA=2OB,∴AB2=5OB2,由(1)知,S△ABC==AB2=×5OB2,∴OB=1,∴OA=2,∴A(2,0),B(0,1),∴直线AB的解析式为y=﹣x+1;(3)由(2)知,AB2=5,∴AB=,①当0≤m≤时,如图3.∵∠AOB=∠AA'F,∠OAB=∠A'AF,∴△AOB∽△AA'F,∴,由运动知,AA'=m,∴,∴A'F=m,∴S=AA'×A'F=m2,②当<m≤2时,如图4同①的方法得:A'F=m,∴C'F=﹣m,过点C作CE⊥x轴于E,过点B作BM⊥CE于E,∴BM=3,CM=1,易知,△ACE∽△FC'H,∴,∴∴C'H=.在Rt△FHC'中,FH=C'H=由平移知,∠C'GF=∠CBM.∵∠BMC=∠GHC',∴△BMC∽△GHC',∴,∴∴GH=,∴GF=GH﹣FH=∴S=S△A'B'C'﹣S△C'FG=﹣××=﹣(2﹣m)2,即:S=.25.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且∠BAC=2∠DCB,求证:AC=AD.小明发现,除了直接用角度计算的方法外,还可以用下面两种方法:方法1:如图2,作AE平分∠CAB,与CD相交于点E.方法2:如图3,作∠DCF=∠DCB,与AB相交于点F.(1)
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