2015年常州市中考数学试题及答案

2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．－3的绝对值是A．3 B．－3 C． D．－2．要使分式有意义，则x的取值范围是A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠23．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是 A． B． C． D．4．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是A．70° B．60° C．50° D．40°5．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB6．已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．已知二次函数y＝＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－18．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是A．cm2 B．8cm2 C．cm2 D．16cm2二、填空题（每小题2分，共20分）9．计算＝_________．10．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为_______________________．11．分解因式：＝____________________________．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是________．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长是______．14．已知x＝2是关于x的方程＋x的解，则a的值是______________．15．二次函数y＝－＋2x－3图像的顶点坐标是____________．16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_______________．17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11；10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；…通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是_______________．三、解答题（共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2．20．（8分）解方程和不等式组：⑴； ⑵21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？⑵求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．⑴求甲第一个出场的概率；⑵求甲比乙先出场的概率．23．（8分）如图，在□ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．⑴求证：AE＝AF；⑵求∠EAF的度数．24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．⑴求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．⑴若AD＝2，求AB；⑵若AB＋CD＝2＋2，求AB．26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．⑴阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE＝DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH．∵ AE为直径 ∴ ∠AHE＝90° ∴ ∠HAE＋∠HEA＝90°．∵ DH⊥AE ∴ ∠ADH＝∠EDH＝90°∴ ∠HAD＋∠AHD＝90°∴ ∠AHD＝∠HED ∴ △ADH∽_____________．∴ ，即＝AD×DE．又∵ DE＝DC ∴ ＝____________，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．⑵操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．⑶解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．⑷拓展探究n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n－1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．27．（10分）如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．⑴写出点A的坐标；⑵当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．⑶若点M在直线l上，且∠POM＝90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是、，求的值．28．（10分）如图，反比例函数y＝的图像与一次函数y＝x的图像交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．⑴若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 一、选择题（每小题2分，共16分）1．﹣3的绝对值是（ ） A．3 B． ﹣3 C． D． 考点： 绝对值．.分析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．解答： 解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．点评： 考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．（2分）（2015•常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A．x＞2 B． x＜2 C． x≠﹣2 D． x≠2考点： 分式有意义的条件．.专题： 计算题．分析： 根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．解答： 解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，故选D．点评： 此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0． 3．（2分）（2015•常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点： 轴对称图形．.分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．点评： 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 4．（2分）（2015•常州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（ ） A．70° B． 60° C． 50° D． 40°考点： 平行线的性质；垂线．.专题： 计算题．分析： 由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．解答： 解：∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=40°，∴∠A=90°﹣∠B=50°，∵CD∥AB，∴∠ECD=∠A=50°，故选C．点评： 此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 5．（2分）（2015•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ） A．AO=OD B． AO⊥OD C． AO=OC D． AO⊥AB考点： 平行四边形的性质．.分析： 根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答： 解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评： 本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 6．（2分）（2015•常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（ ） A．a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞a＞c D． a＞c＞b考点： 实数大小比较．.专题： 计算题．分析： 将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．解答： 解：∵a==，b==，c==，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，故选A．点评： 此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键． 7．（2分）（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A．m=﹣1 B． m=3 C． m≤﹣1 D． m≥﹣1考点： 二次函数的性质．.分析： 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．解答： 解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 8．（2分）（2015•常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ） A．cm2 B． 8cm2 C． cm2 D． 16cm2考点： 翻折变换（折叠问题）．.分析： 当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．解答： 解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=×4×4=8cm2．故选：B．点评： 本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键． 二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）（2015•常州）计算（π﹣1）0+2﹣1= 1 ．考点： 负整数指数幂；零指