江苏省南通市2013年中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.下列各数中,小于﹣3的数是( ) A.2B.1C.﹣2D.﹣42.某市2013年参加中考的考生人数约为85000人,将85000用科学记数法表示为( ) A.8.5×104B.8.5×105C.0.85×104D.0.85×1053.下列计算,正确的是( ) A.x4﹣x3=xB.x6÷x3=x2C.x•x3=x4D.(xy3)2=xy64.如图所示的几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( ) A.4B.3C.2D.15.有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为( ) A.1B.2C.3D.46.函数中,自变量x的取值范围是( ) A.x>1B.x≥1C.x>﹣2D.x≥﹣27.如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹是( ) A.以点B为圆心,OD为半径的圆B.以点B为圆心,DC为半径的圆 C.以点E为圆心,OD为半径的圆D.以点E为圆心,DC为半径的圆8.用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4cm,底面周长是6πcm,则扇形的半径为( ) A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm9.小李与小陆从A地出发,骑自行车沿同一条路行驶到B地,他们离出发地的距离S(单位:km)和行驶时间t(单位:h)之间的函数关系的图象如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:(1)他们都行驶了20km;(2)小陆全程共用了1.5h;(3)小李与小陆相遇后,小李的速度小于小陆的速度;(4)小李在途中停留了0.5h.其中正确的有( ) A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图.Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=4,AC=3,D是的中点,CD与AB的交点为E,则等于( ) A.4B.3.5C.3D.2.8二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)11.若反比例函数y=的图象经过点A(1,2),则k=。12.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠BOD=20°,则∠COE等于 度.13.一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆,则这个几何体是 .14.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是 .15.已知一组数据5,8,10,x,9的众数是8,那么这组数据的方差是 .16.如图,经过点B(﹣2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(﹣1,﹣2),则不等式4x+2<kx+b<0的解集为 .17.如图,在▱ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=4cm,则EF+CF的长为 cm.18.已知x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x2+4x+6的值相等,且m﹣n+2≠0,则当x=3(m+n+1)时,多项式x2+4x+6的值等于 .三、解答题(本大题共10小题,共96分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(11分)(1)计算:;(2)先化简,再求代数式的值:,其中m=1.20.(9分)在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,5),B(4,2),C(﹣1,0)三点.(1)点A关于原点O的对称点A′的坐标为 ,点B关于x轴的对称点B′的坐标为 ,点C关于y轴的对称点C的坐标为 .(2)求(1)中的△A′B′C′的面积.21.(8分)某水果批发市场将一批苹果分为A,B,C,D四个等级,统计后将结果制成条形图,已知A等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%.回答下列问题:(1)这批苹果总重量为 kg;(2)请将条形图补充完整;(3)若用扇形图表示统计结果,则C等级苹果所对应扇形的圆心角为 度.22.(10分)在不透明的袋子中有四张标着数字1,2,3,4的卡片,小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏.小明画出树状图如图所示:小华列出表格如下:第一次第二次12341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)①(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)回答下列问题:(1)根据小明画出的树形图分析,他的游戏规则是,随机抽出一张卡片后 (填“放回”或“不放回”),再随机抽出一张卡片;(2)根据小华的游戏规则,表格中①表示的有序数对为 ;(3)规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜,你认为谁获胜的可能性大?为什么?23.(8分)若关于x的不等式组恰有三个整数解,求实数a的取值范围.24.(8分)如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.求证:四边形BCDE是矩形.25.(8分)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠BAC=2∠B,⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P,若PA=cm,求AC的长.26.(8分)某公司营销A、B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6.信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以上信息,解答下列问题;(1)求二次函数解析式;(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?27.(13分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=3,△DEF是边长为a(a为小于3的常数)的等边三角形,将△DEF沿AC方向平移,使点D在线段AC上,DE∥AB,设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T.(1)求证:点E到AC的距离为一个常数;(2)若AD=,当a=2时,求T的值;(3)若点D运动到AC的中点处,请用含a的代数式表示T.28.(13分)如图,直线y=kx+b(b>0)与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS+32=0.(1)求b的值;(2)求证:点(y1,y2)在反比例函数的图象上;(3)求证:x1•OB+y2•OA=0.江苏省南通市2013年中考数学试卷参考答案1.D2.A3.C4.B5.C6.A7.D8.B9.A10.C11.212.7013.球体14.15.2.816.﹣2<x<﹣117.518.319.解:(1)=÷÷1﹣3=﹣3;(2)=•=,当m=1时,原式=﹣.20.解:(1)∵A(﹣1,5),∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为(1,﹣5).∵B(4,2),∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为(4,﹣2).∵C(﹣1,0),∴点C关于y轴的对称点C的坐标为(1,0).故答案分别是:(1,﹣5),(4,﹣2),(1,0).(2)如图,∵A′(1,﹣5),B′(4,﹣2),C′(1,0).∴A′C′=|﹣5﹣0|=5,B′D=|4﹣1|=3,∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5,即(1)中的△A′B′C′的面积是7.5.21.解:(1)1200÷30%=4000(kg).故这批苹果总重量为4000kg;(2)4000﹣1200﹣1600﹣200=1000(kg),将条形图补充为:(3)×360°=90°.故C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度.故答案为:4000,90.22.解:(1)观察树状图知:第一次摸出的数字没有在第二次中出现,∴小明的实验是一个不放回实验,(2)观察表格发现其横坐标表示第一次,纵坐标表示第二次,(3)理由如下:∵根据小明的游戏规则,共有12种等可能的结果,数字之和为奇数的有8种,∴概率为:=;∵根据小华的游戏规则,共有16种等可能的结果,数字之和为奇数的有8种,∴概率为:=,∵>∴小明获胜的可能性大.故答案为不放回;(3,2).23.解:解+>0,得x>﹣;解3x+5a+4>4(x+1)+3a,得x<2a,∴不等式组的解集为﹣<x<2a.∵关于x的不等式组恰有三个整数解,∴2<2a≤3,解得1<a≤.24.证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC,∴∠BAE=∠CAD,∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD(SAS),∴∠BEA=∠CDA,BE=CD,∵DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵AE=AD,∴∠AED=∠ADE,∵∠BEA=∠CDA,∴∠BED=∠CDE,∵四边形BCDE是平行四边形,∴BE∥CD,∴∠CDE+∠BED=180°,∴∠BED=∠CDE=90°,∴四边形BCDE是矩形.25.解:∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=2∠B,∴∠B=30°,∠BAC=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°,AC=OA,∵PA是⊙O切线,∴∠OAP=90°,在Rt△OAP中,PA=6cm,∠AOP=60°,∴OA===6,∴AC=OA=6.26.解:(1)∵当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6,∴,解得,所以,二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x;(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10﹣m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3(10﹣m)=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1(m﹣6)2+6.6,∵﹣0.1<0,∴当m=6时,W有最大值6.6,∴购进A产品6吨,购进B产品4吨,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.27.解:(1)由题意得:tanA===,∴∠A=60°.∵DE∥AB,∴∠CDE=∠A=60°.如答图1所示,过点E作EH⊥AC于点H,则EH=DE•sin∠CDE=a•=a.∴点E到AC的距离为一个常数.(2)若AD=,当a=2时,如答图2所示.设AB与DF、EF分别交于点M、N.∵△DEF为等边三角形,∴∠MDE=60°,由(1)知∠CDE=60°,∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°,又∵∠A=60°,∴△ADM为等边三角形,∴DM=AD=.过点M作MG∥AC,交DE于点G,则∠DMG=∠ADM=60°,∴△DMG为等边三角形,∴DG=MG=DM=.∴GE=DE﹣DG=2﹣=.∵∠MGD=∠E=60°,∴MG∥NE,又∵DE∥AB,∴四边形MGEN为平行四边形.∴NE=MG=,MN=GE=.∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=.(3)若点D运动到AC的中点处,分情况讨论如下:①若0<a≤,△DEF在△ABC内部,如答图3所示:∴T=3a;②若<a≤,点E在△ABC内部,点F在△ABC外部,在如答图4所示:设AB与DF、EF分别交于点M、N,过点M作MG∥AC交DE于点G.与(2)同理,可知△ADM、△DMG均为等边三角形,四边形MGEN为平行四边形.∴DM=DG=NE=AD=,MN=GE=DE﹣DG=a﹣,∴T=DE+DM+MN+NE=a++(a﹣)+=2a+;③若<a<3,点E、F均在△ABC外部,如答图5所示:设AB与DF、EF分别交于点M、N,BC与DE、EF分别交于点P、Q.在Rt△PCD中,CD=,∠CDP=60°,∠DPC=30°,∴PC=CD•tan60°=×=.∵∠EPQ=∠DPC=30°,∠E=60°,∴∠PQE=90°.由(1)知,点E到AC的距离为a,∴PQ=a﹣
2013年江苏省南通市中考数学试题及答案
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