2020年常州市中考数学试题及答案

常州市二○二○年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2的相反数是（）A. B. C. D.2.计算的结果是（）A. B. C. D.3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥4.8的立方根是（）A2 B.±2 C.±2 D.25.如果，那么下列不等式正确的是（）A. B. C. D.6.如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（）A.30° B.40° C.50° D.60°7.如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.68.如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（）A. B.4 C. D.6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：|－2|＋(π－1)0＝____．10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．11.地球半径大约是，将用科学记数法表示为________．12.分解因式：－x=__________．13.若一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是__________．14.若关于x的方程有一个根是1，则_________．15.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形中，．如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．17.如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．18.如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.先化简，再求值：，其中．20.解方程和不等式组：（1）；（2）21.为了解某校学生对球类运动喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是_________；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是_________；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．（1）求证：；（2）若，求的度数．24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a的值及正比例函数的表达式；（2）若，求面积．26.如图1，点B在线段上，Rt△≌Rt△，，，．（1）点F到直线的距离是_________；（2）固定△，将△绕点C按顺时针方向旋转30°，使得与重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；②如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长．27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式．28.如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、．（1）填空：________；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标；（3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接．当点F在x轴上时，直接写出的长．常州市二○二○年初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息．3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2的相反数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D．2.计算结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂除法，掌握公式是解答本题的关键．3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱锥【答案】C【解析】【分析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．【详解】解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4.8的立方根是（）A.2 B.±2 C.±2 D.2【答案】D【解析】【详解】解：根据立方根的定义，由23=8，可得8的立方根是2故选：D．【点睛】本题考查立方根．5.如果，那么下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；B、由x＜y可得：，故选项不成立；C、由x＜y可得：，故选项不成立；D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6.如图，直线a、b被直线c所截，，，则的度数是（）A.30° B.40° C.50° D.60°【答案】B【解析】【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【详解】解：∵∠1+∠3=180°，∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵∴∠2=∠3=40°．故答案为B．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7.如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=BC，当BC为直径时长度最大，即可求解．【详解】解：∵∴∠BHC=90°∵在Rt△BHC中，点M是的中点∴MH=BC∵BC为的弦∴当BC为直径时，MH最大∵的半径是3∴MH最大为3．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．8.如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（）A. B.4 C. D.6【答案】D【解析】【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．【详解】作交BD的延长线于点E，作轴于点F∵∴∴为等腰直角三角形∵∴，即∴DE=AE=∵BC=AO，且，∴∴∴∴设点A，∴解得：∴故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：|－2|＋(π－1)0＝____．【答案】3【解析】【分析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可．【详解】原式=2＋1=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了绝对值和0次幂的性质．10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．【答案】x≠1【解析】【分析】分式有意义时，分母x-1≠0，据此求得x的取值范围．【详解】解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11.地球半径大约是，将用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.【详解】6400=.故答案为：.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.分解因式：－x=__________．【答案】x（x+1）（x－1）【解析】解：原式13.若一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是__________．【答案】k＞0【解析】分析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．【详解】解：∵一次函数的函数值y随自变量x增大而增大∴k＞0．故答案为k＞0．【点睛】本题主要考查了一次函数增减性与系数的关系，当一次函数的一次项系数大于零时，一次函数的函数值随着自变量x的增大而增大．14.若关于x的方程有一个根是1，则_________．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．【答案】30【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得