备战2024年高考阶段性检测名校重组卷(新高考)排列组合与二项式定理本试卷22小题,满分150分。考试用时120分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2023·广东揭阳·统考模拟预测)若,则( )A.7 B. C. D.7或9【答案】D【解析】∵,∴或,解得或.故选:D.2.(2023·河南开封·统考二模)展开式中的常数项是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】展开式的通项公式为,令,可得,故展开式的常数项为.故选:A.3.(2023·广东茂名·统考一模)将4个6和2个8随机排成一行,则2个8不相邻的情况有( )A.480种 B.240种 C.15种 D.10种【答案】D【解析】将2个8插空放入不相邻的5个空位(4个6之间有5个空位)中有方法,故2个8不相邻的情况有种.故选:D4.(2023·山东青岛二模)的展开式中的系数为( )A.85 B.5 C.-5 D.-85【答案】A【解析】的展开式的通项为,则,,从而的展开式中的系数为.故选:A.5.(2023·山东滨州·统考一模)从名大学毕业生中选人担任村长助理,则甲、乙至少有人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】分别在甲、乙有且仅有人入选和甲、乙人都入选的情况下确定选法种数,根据分类加法计数原理可求得结果.【详解】甲、乙有且仅有人入选、丙没有入选的情况有:种;甲、乙人都入选、丙没有入选的情况有:种;甲、乙至少有人入选,而丙没有入选的不同选法的种数有种.故选:C.6.(2023·广东·统考一模)如图,在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片,每格只放一张卡片,则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有( )A.96种 B.64种 C.32种 D.16种【答案】B【解析】根据题意,分3步进行,第一步,要求“只有中间一列两个数字之和为5”,则中间的数字只能为两组数1,4或2,3中的一组,共有种排法;第二步,排第一步中剩余的一组数,共有种排法;第三步,排数字5和6,共有种排法;由分步计数原理知,共有不同的排法种数为.故选:B.7.(2023广东佛山一中4月一模)定义:两个正整数,,若它们除以正整数所得的余数相等,则称,对于模同余,记作,比如:.已知,满足,则可以是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 也即, 故除以的余数为除以的余数, 又除以的余数也为,满足题意,其它选项都不满足题意. 故选:A.8.(2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测)大约公元前300年,欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理:每一个比1大的数(每个比1大的正整数)要么本身是一个素数,要么可以写成一系列素数的乘积,如果不考虑这些素数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的,即任何一个大于1的自然数(不为素数)能唯一地写成(其中是素数,是正整数,,),将上式称为自然数的标准分解式,且的标准分解式中有个素数.从120的标准分解式中任取3个素数,则一共可以组成不同的三位数的个数为( )A.6 B.13 C.19 D.60【答案】B【分析】首先根据的标准分解式得到,然后根据这5个素数的特点进行分类讨论,最后利用分类加法计数原理即可得解.【详解】解根据的标准分解式可得,故从2,2,2,3,5这5个素数中任取3个组成三位数,有下列三种情况:①选取3个2,可以组成1个三位数;②选取2个2后,再从3或5中选一个,可以组成个不同的三位数;③选取2,3,5,可以组成个不同的三位数.所以从120的标准分解式中任取3个素数,一共可以组成个不同的三位数.故选:B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(2023·广东揭阳·统考模拟预测)为了做好社区新疫情防控工作,需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作,则下列选项正确的是( )A.共有625种分配方法B.共有1024种分配方法C.每个小区至少分配一名志愿者,则有240种分配方法D.每个小区至少分配一名志愿者,则有480种分配方法【答案】BC【解析】对于选项AB:若需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作,则每个志愿者都有4种可能,根据计数原理之乘法原理,则有45=1024种不同的方法,故A错误,B正确,对于选项CD:若每个小区至少分配一名志愿者,则有一个小区有两名志愿者,其余小区均有1名志愿者,由部分均匀分组消序和全排列可知,把5名志愿者分成4组,有种不同的分配方法,故C正确,D错误.故选:BC.10.(2023·江苏南京·宁海中学模拟)关于的展开式,下列结论正确的是( )A.所有项的二项式系数和为32B.所有项的系数和为0C.常数项为D.系数最大的项为第3项【答案】BC【解析】,可得二项式系数和为,故A错误;令得所有项的系数和为0,故B正确;常数项,故C正确;,系数为,最大为或,为第3项或第5项,故D错误.故选:BC.11.(2023黑龙江哈尔滨九中二模)若,其中(,,…,)为实数,则()A. B. C. D. 【答案】B,C【解析】依题意,令, 对于A,,A错误;对于B,是按展开的第4项系数,因此,B正确; 对于C,,, 所以,C正确; 对于D,,D错误.故选:BC.12.(2023贵州遵义一中月考)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大,则称这个数为“凸数”,如、等都是“凸数”,用,,,,这五个数字组成无重复数字的三位数,则()A.组成的三位数的个数为 B.在组成的三位数中,奇数的个数为C.在组成的三位数中,“凸数”的个数为 D.在组成的三位数中,“凸数”的个数为【答案】B,D【解析】A:个数组成无重复的三位数的个数为,故A错误; B:奇数为个位数是,,的三位数,个数为,故B正确; C:“凸数”分为类,①十位数为,则有个;②十位数为,则有个; ③十位数为,则有个,所以共有个,故C错误; D:由选项C的分析可知,D正确; 故选:BD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2023·山东泰安·统考二模)用数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_________个.(用数字作答)【答案】312【分析】分两种情况,结合排列数和组合数公式求解.【详解】偶数包含2,4,6,奇数包含1,3,5,7,1.若四位数没有偶数,则都是奇数,有个;2.若四位数有一个偶数,三个奇数,有个,综上可知,共有个.故答案为:31214.(2023·福建泉州·统考三模)已知,且则____________.【答案】0【解析】由题意,可得,.,.15.(2023·山东省齐鲁名校·3月大联考)为了响应国家号召,预防新冠病毒的传播,7位高龄老人排队注射新冠疫苗,要求甲、乙、丙相邻,且乙在甲与丙的中间,则共有______种不同的排队方法.【答案】240【分析】利用捆绑法,结合排列的定义进行求解即可.【详解】不同的排队方法有种.故答案为:24016.(2023·广东揭阳·高三统考模拟考试)中的系数为__________(用数字作答).【答案】【解析】,其二项展开式的通项为,要得到,则,解得.的二项展开式的通项为,令,可得.故中的系数为.故答案为:.四、解答题:本大题共6小题,共70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(2023江西师范大学附中月考)(1)已知,求的值(用数字作答). (2)解不等式:.【解析】(1)因为, 所以或,解得或(舍去), 则; (2),即为, 解得,又因, 所以不等式的解集为.18.(2023河北张家口张垣联盟月考)已知甲,乙,丙,丁,戊五名同学,按下列要求进行排列,分别求满足条件的排列数. (1)把名同学排成一排且甲乙必须相邻; (2)把名同学安排到排成一排的个空位中的个空位上,且甲乙不相邻.【解析】(1)第一步,捆绑甲乙两名同学种;第二步,把有限制条件(相邻)的同学, 甲乙看作整体和其他三名同学一起全排列,其排列方法有种. 由分步乘法计数原理知,满足条件的排列方法有(种) (2)将“空位”看成一名同学(他还没来),除了甲,乙剩下的三名同学和一个空位, 形成五个间隔,让甲乙插入个间隔得到, 然后三名同学和一个空位全排列得到,最后结果是(种).19.(2023甘肃武威月考)若,且. (1)求实数的值; (2)求值.【解析】(1)依题意,,因此,解得, 所以实数的值是. (2)由(1)知,,当时,, 当时,, 因此, 所以.20.(2023山东烟台龙口市3月月考)将个编号为的不同小球全部放入个编号为的个不同盒子中.求: (1)每个盒至少一个球,有多少种不同的放法? (2)恰好有一个空盒,有多少种不同的放法? (3)每盒放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种不同的放法? (4)把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号),其余条件不变,恰有一个空盒,有多少种不同的放法?【解析】(1)根据题意知,每个盒子里有且只有一个小球,所求放法种数为(种); (2)先将个小球分为组,各组的球数分别为,然后分配给个盒子中的个盒子, 由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种); (3)考查编号为的盒子中放入编号为的小球,则其它个球均未放入相应编号的盒子, 那么编号为的盒子中放入的小球编号可以依次为或, 因此,所求放法种数为(种); (4)按两步进行,空盒编号有种情况, 然后将个完全相同的小球放入其它个盒子,没有空盒, 则只需在个完全相同的小球所形成的个空(不包括两端)中插入块板, 由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种).21.(2023苏州常州一中高三上学期检测)已知在的展开式中,前项的系数成等差数列,求: (1)展开式中二项式系数最大项的项; (2)展开式中系数最大的项; (3)展开式中所有有理项.【解析】(1)展开式的通项公式为,依题意得,即,得,所以的展开式有项,所以二项式系数最大的项为第项,所以. (2)由(1)知,,设展开式中系数最大的项为第项, 则,即,即, 解得,所以或,所以展开式中系数最大的项为和. (3)由为有理项知,为整数, 得,.所以展开式中所有有理项为和.22.(2023河北石家庄四十一中期中)现有,,,,,六个数字 (1)可组成多少个没有重复数字的偶数; (2)组成没有重复数字的五位数,从小到大排列是第多少个数字?【解析】(1)当组成的数是一位数时,一位偶数有个; 当组成的数是二位数时, 可分两类:末位是时有个,末位是或时有个,二位偶数共有个; 当组成的数是三位数时, 可分两类:末位是时有个,末位是或时有个,三位偶数共有个; 当组成的数是四位数时, 可分两类:末位是时有个,末位是或时有个,四位偶数共有个; 当组成的数是五位数时, 可分两类:末位是时有个,末位是或时有个
第九章 排列组合与二项式定理-备战2024年高考数学专题测试模拟卷(新高考专用)(解析卷)
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