第八节直线与圆锥曲线问题知识点归纳1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外),相切有一个交点,相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有Δ>0时,直线l与曲线C相交;Δ=0时,直线l与曲线C相切;Δ<0时,直线l与曲线C相离.②当a=0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==或|AB|==,k为直线斜率且k≠0.[常用结论]与椭圆有关的结论:(1)通径的长度为eq\f(2b2,a);(2)过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-eq\f(b2,a2);(3)若点P(x0,y0)在椭圆上,过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)+eq\f(y0y,b2)=1.题型归类题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:eq\f(x2,4)+eq\f(y2,2)=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点.感悟提升 在判断直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,如果是直线与圆或椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.题型二弦的有关问题角度1 焦点弦例2(2023·武汉质检)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为________.角度2 中点弦例3已知P(1,1)为椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,2)=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为________________.角度3 一般弦例4如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2),过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时,|AB|=4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB|+|CD|=eq\f(48,7),求直线AB的方程.感悟提升 1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线方程联立,消元,利用根与系数关系表示中点;(2)点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种:①|AB|=eq\r(1+k2)|x1-x2|=eq\r((1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]);②|AB|=eq\r(1+\f(1,k2))|y1-y2|(k≠0)=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,k2)))[(y1+y2)2-4y1y2]).题型三圆锥曲线的切线问题例5已知椭圆eq\f(x2,25)+eq\f(y2,9)=1,直线l:4x-5y+40=0,椭圆上是否存在一点,使得它到直线l的距离最小或最大?并求最小值与最大值?感悟提升 1.处理圆锥曲线的切线问题的常用方法为代数法,即联立直线与圆锥曲线的方程,根据Δ=0来求解.2.(1)过椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)+eq\f(y0y,b2)=1;(2)过双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)-eq\f(y0y,b2)=1;(3)过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为y0y=p(x+x0).题型四 直线与圆锥曲线的综合例6已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2),短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若△ABO的面积为eq\f(3,5)(O为坐标原点),求直线l的方程.感悟提升 (1)解答直线与椭圆相交的题目时,常用到“设而不求”的方法,即联立直线和椭圆的方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.课时作业一、单选题1.P为椭圆上一点,、为左右焦点,若则△的面积为A. B. C.1 D.32.若直线和圆没有公共点,则过点的直线与椭圆的公共点个数为( )A.0 B.1C.2 D.需根据a,b的取值来确定3.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则椭圆的方程为( )A. B. C. D.4.已知斜率为的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于,两点,又直线与圆交于,两点.若,则的值为( )A. B. C. D.5.已知抛物线的焦点为F,若斜率为的直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,则线段的中点到准线的距离为( )A. B. C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且,则△的面积为( )A. B. C. D.二、多选题7.若经过点的直线与抛物线恒有公共点,则C的准线可能是( ).A. B.C. D.8.已知,分别是椭圆:的左、右焦点,在上,为坐标原点,若,的面积为1,则( )A.椭圆的离心率为 B.点在椭圆上C.的内切圆半径为 D.椭圆上的点到直线的距离小于2三、填空题9.已知是抛物线:的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则______.10.已知P(x,y)是椭圆上的一个动点,则x+y的最大值是________.11.已知椭圆的离心率为,上顶点为A,左顶点为B,,分别是椭圆的左、右焦点,且的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为_______.12.正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上,C、D在直线上,则正方形的面积为______.四、解答题13.已知直线与抛物线.(1)若直线与抛物线相切,求实数的值;(2)若直线与抛物线相交于两点,且,求直线的方程;14.已知椭圆的右焦点为,为短轴的一个端点,且,的面积为1(其中为坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)若,分别是椭圆长轴的左、右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,证明:为定值.15.已知双曲线:(,)的离心率为,右焦点到的一条渐近线的距离为1.(1)求的标准方程;(2)过点的直线与交于,两点,点在上,且线段轴.问:直线是否经过轴上的一定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,试说明理由.16.椭圆的左、右焦点分别是,且点在上,抛物线与椭圆交于四点(I)求的方程;(Ⅱ)试探究坐标平面上是否存在定点,满足?(若存在,求出的坐标;若不存在,需说明理由.)
高中数学通用两周搞定圆锥曲线题型透析第八节 直线与圆锥曲线问题(原卷版)
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