第八节直线与圆锥曲线问题知识点归纳1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（y1＋y2）2－4y1y2)))，k为直线斜率且k≠0.[常用结论]与椭圆有关的结论：(1)通径的长度为eq\f(2b2,a)；(2)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)；(3)若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.题型归类题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m， ①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3eq\r(2)b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(b,2))).由点B在椭圆上，得eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.角度2 中点弦例3已知P(1，1)为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________.答案 x＋2y－3＝0解析 法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，①eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,4)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,2)＝0.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0.又x2－x1≠0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).经检验，k＝－eq\f(1,2)满足题意.∴此弦所在的直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝k（x－1），,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4k（k－1）,2k2＋1).又∵x1＋x2＝2，∴eq\f(4k（k－1）,2k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).经检验，k＝－eq\f(1,2)满足题意.故此弦所在的直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.角度3 一般弦例4如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直线AB的方程.解 (1)由题意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12（k2＋1）,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12（k2＋1）,3＋4k2)＋eq\f(12（k2＋1）,3k2＋4)＝eq\f(84（k2＋1）2,（3＋4k2）（3k2＋4）)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.感悟提升 1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).题型三圆锥曲线的切线问题例5已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，椭圆上是否存在一点，使得它到直线l的距离最小或最大？并求最小值与最大值？解 设与直线l：4x－5y＋40＝0平行的直线l′：4x－5y＋m＝0，当直线l′与椭圆相切于A点时，此时A到l距离最小；当直线l′与椭圆相切于B点时，此时B到l的距离最大.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－5y＋m＝0，,\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，))消去y得25x2＋8mx＋m2－225＝0，Δ＝64m2－100(m2－225)＝0，∴m＝±25.当直线经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(9,5)))时，l1：4x－5y＋25＝0，此时距离最小，dmin＝eq\f(|40－25|,\r(41))＝eq\f(15\r(41),41).当直线经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(9,5)))时，l2：4x－5y－25＝0，此时距离最大，dmax＝eq\f(|40＋25|,\r(41))＝eq\f(65\r(41),41).感悟提升 1.处理圆锥曲线的切线问题的常用方法为代数法，即联立直线与圆锥曲线的方程，根据Δ＝0来求解.2.(1)过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；(2)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；(3)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0).题型四 直线与圆锥曲线的综合例6已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为eq\f(3,5)(O为坐标原点)，求直线l的方程.解 (1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2b＝2，,c2＝a2－b2，))解得a2＝4，b2＝1，故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由