第六节双曲线的方程与性质知识框架知识点归纳1.双曲线的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)x离心率实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a，b，c的关系[常用结论]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).2.离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3.若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(θ,2)).题型归类题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.感悟提升 在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.题型二双曲线的标准方程例2(1已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2eq\r(5)，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为( )A.x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1答案 B(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e＝eq\f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq\r(5))，则该双曲线的标准方程为________________.感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.2.与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).题型三双曲线的简单几何性质角度1 渐近线例3(1)(2023·许昌模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(5)，则双曲线C的渐近线方程为________.(2)(2023·重庆诊断)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，则双曲线C的渐近线方程为________________.角度2 离心率例4(1)(2023·沈阳调研)已知O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为( )A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)(2)(2023·烟台调研)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________.感悟提升 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.训练3(1)(2023·武汉调研)如图，已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，则C的渐近线方程为________.(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________.题型四双曲线几何性质的综合应用例5(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝36的左、右焦点，A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点，若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则△BF1F2的面积的最大值为( )A.18eq\r(2) B.18eq\r(3)C.36eq\r(2) D.36eq\r(3)(2)(2022·上海春季高考)已知双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2－y1y2＞0成立，则实数a的取值范围是________.感悟提升 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识面较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.题型五椭圆与双曲线的常用二级结论1.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ.))2.(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦半径公式|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，F1，F2分别为左、右焦点.(2)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的焦半径公式|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|.3.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系：e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋k2).4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中①当P为短轴端点时，θ最大.②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a＋c).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.例(1)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为( )A.5 B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)[优解]由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知渐近线的斜率k＝±2.根据结论(3)，得e＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).(2)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A.eq\f(16\r(3),3) B.eq\f(32\r(3),3)C.16eq\r(3) D.32eq\r(3)答案 A解析 [通法]由椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2知|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，解得mn＝eq\f(64,3).所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)mnsin60°＝eq\f(16\r(3),3).[优解]训练(1)经过点M(2eq\r(3)，2eq\r(5))且与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,12)