高中数学通用两周搞定圆锥曲线题型透析第二讲 两直线的位置关系（教师版）

第二节两直线间的位置关系知识框架知识点归纳1.两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线)的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.直线的交点与方程组解的关系(1)两直线的交点点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系与方程组解的关系方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.[常用结论]对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0：(1)“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；(2)“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”.题型归类题型一两直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值.解 (1)法一 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，所以l1∥l2⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－1）－1×2＝0，,a（a2－1）－1×6≠0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a（a2－1）≠6，))可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，l1∥l2⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－（a＋1），))解得a＝－1，综上，当a＝－1时，l1∥l2.(2)法一 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝eq\f(2,3).法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\f(1,1－a)＝－1，得a＝eq\f(2,3).感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.题型二两直线的交点与距离问题例2(1)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为________________.答案 2x－y＝0解析 法一 联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以两直线的交点为(－1，－2)，所以直线l的斜率为eq\f(－2－0,－1－0)＝2，则直线l的方程为2x－y＝0.法二 设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R)，因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8.所以直线l的方程为2x－y＝0.(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________.答案 4x－y－2＝0或x＝1解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由题设有eq\f(|2k－3－k＋2|,\r(1＋k2))＝eq\f(|0＋5－k＋2|,\r(1＋k2))，即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.此时直线方程为4x－y－2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件.故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.感悟提升 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题角度1 关于点对称例3过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________.答案 x＋4y－4＝0解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度2 关于线对称例4(1)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.答案 6x－y－6＝0解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－（－3）)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.(2)在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为________.答案 eq\f(4,3)解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t，0)(0＜t＜4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)，根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝eq\f(4－t,4＋t)·(x＋t).设△ABC的重心为G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因为重心Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光线RQ上，所以eq\f(4,3)＝eq\f(4－t,4＋t)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，得t＝eq\f(4,3)(t＝0舍去)，即|AP|＝eq\f(4,3).感悟提升 对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.题型四直线系方程的应用角度1 与平行、垂直有关的直线系例5(1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________.答案 2x＋3y＋10＝0解析 设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠5)，由题意知2×1＋3×(－4)＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________.答案 x－2y＝0解析 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0.又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.角度2 过两直线交点的直线系例6已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.解 法一 解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝eq\f(3,4)，所以直线l的斜率k＝－eq\f(4,3)，所以直线l的方程为y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.法二 设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三 设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.感悟提升 几种常见的直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C).(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0.(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.课时训练一、单选题1．若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为( )A.互相平行 B.互相重合C.互相垂直 D.无法确定答案 C解析 由根与系数的关系得ka·kb＝－1，则a与b互相垂直.2．已知直线，直线的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离AO的长度为（   ）A．1 B．2 C