第五章 数列-备战2024年高考数学专题测试模拟卷(新高考专用)(解析卷)

2023-11-21 · U1 上传 · 16页 · 869.4 K

备战2024年高考阶段性检测名校重组卷(新高考)数列本试卷22小题,满分150分。考试用时120分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2023·浙江杭州·统考二模)在数列中,“数列是等比数列”是“”的(    )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断,【详解】数列是等比数列,得,若数列中,则数列不一定是等比数列,如数列,所以反之不成立,则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件.故选:A.2.(2023•江西一模)已知等差数列的前项和,若,则 A.150 B.160 C.170 D.与和公差有关【答案】B【分析】根据题意,由等差数列的性质可得,由此计算可得答案.【详解】解:根据题意,等差数列中,若,则,故.故选B.3.(2023•吉林一模)已知为等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则等于 A.35 B. C. D.【答案】C 【分析】设等比数列的公比为,由已知可得首项和公比的方程,解得首项和公比,再由等比数列的求和公式求解.【详解】解:设等比数列的公比设为,由,且与的等差中项为,可得,,解得,,则.故选C.4.(2023·山东菏泽·统考一模)2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离,那么至少对折的次数是()(,)A.40 B.41 C.42 D.43【答案】C【解析】【分析】设对折次时,纸的厚度为,则是以为首项,公比为的等比数列,求出的通项,解不等式即可求解【详解】设对折次时,纸的厚度为,每次对折厚度变为原来的倍,由题意知是以为首项,公比为的等比数列,所以,令,即,所以,即,解得:,所以至少对折的次数是,故选:C5.(贵州凯里一中2023届高三三模)正项等比数列的前n项积为,且满足,,则下列判断错误的是(    ) A. B.C.的最大值为 D.【答案】D【分析】先根据题干条件判断出,然后结合等比数列的性质逐一分析每个选项.【详解】由知:或,若,此时,但与矛盾,故,故,故A正确,根据等比中项可得,,B正确;由于,显然C正确,,D错误.故选:D6.(2023春·吉林通化二模)数列的前n项和为,对一切正整数n,点在函数的图象上,(且),则数列的前n项和为(    )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知①,当时,,当时,②,①-②,得,若,,符合题意,所以,则,所以,则.故选:D. 7.(2023·河南·校联考模拟预测)已知数列的前n项和为,且,则(    )A. B.2n C. D.【答案】D【解析】令,由可得:,两式作差可得:,化简整理可得:,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以,进而可得:.故选:D.8.(2023•福建一模)任意写出一个正整数,并且按照以下的规律进行变换:如果是个奇数,则下一步变成,如果是个偶数,则下一步变成,无论是怎样一个数字,最终必进入循环圈,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.它可以表示为数列为正整数),若,则的所有可能取值之和为 A.188 B.190 C.192 D.201【答案】B【分析】根据“冰雹猜想”,一一列举出所有可能的情况即可.【详解】解:由题意,的可能情况有:①:②;③:④⑤:⑥..的所有可能取值为2,16,20,3,128,21,所有可能取值的和为190.故选B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(2023·福建·统考一模)记正项等比数列an的前n项和为Sn,则下列数列为等比数列的 有(    )A.an+1+an B.an+1an C.Snan D.SnSn+1【答案】AB【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.【详解】由题意可得:等比数列an的首项a1>0,公比q>0,即an>0,Sn>0,对A:an+1+an>0,且an+2+an+1an+1+an=an+1+anqan+1+an=q,即an+1+an为等比数列,A正确;对B:an+1an>0,且an+2an+1an+1an=an+2an=q2,即an+1an为等比数列,B正确;∵Sn=na1,q=1a11-qn1-q,q≠1,则有:对C:Sn+1an+1Snan=anan+1Sn+1Sn=1qSn+1Sn=n+1n,q=11q1-qn+11-qn,q≠1,均不为定值,即Snan不是等比数列,C错误;对D:Sn+1Sn+2SnSn+1=Sn+2Sn=n+2n,q=11-qn+21-qn,q≠1,均不为定值,即SnSn+1不是等比数列,D错误;故选:AB.10.(辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设各层球数构成一个数列,且,数列的前n项和为,则正确的选项是(    ).A. B.C. D.【答案】BC【分析】运用累和法、裂项相消法,结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.【详解】由题意可知:,于是有,显然可得:,,因此选项A不正确,选项B正确;当时,, 显然适合上式,,因此选项D不正确;,,因此选项C正确,故选:BC11.(2023·山东枣庄·统考二模)已知为等差数列,前n项和为,,公差,则(    )A.B.当戓6时,取得最小值为30C.数列的前10项和为50D.当时,与数列共有671项互为相反数.【答案】AC【解析】因为等差数列,且,公差,所以,,所以,,所以选项A正确;因为,根据二次函数的对称性及开口向下可知:取得最大值为,故选项B错误;记的前10项和为,因为,当时,解得,当时,解得,所以,因为,所以, 所以,故选项C正确;记,因为,,所以,所以当时,,由,,可知为偶数,若与互为相反数,则,且为偶数,由,所以为偶数,即为偶数,即为偶数,即,即,且为偶数,所以,且为偶数,故这样的有670个,故选项D错误.故选:AC12.(2023·浙江·校联考二模)定义:若存在正实数M使,则称正数列为有界正数列.已知数列满足,为数列的前n项和.则(    )A.数列为递增数列 B.数列为递增数列C.数列为有界正数列 D.数列为有界正数列【答案】BC【分析】对于A,设,求导后放缩为,从而可知当时,单调递减,即可判断;对于B,由可知数列为递增数列,即可判断;对于C,由A分析,即可判断;对于D,借助不等式,从而可得,即可得到,从而可判断.【详解】对于A,设,,当时,,则,所以当时,,则当时,,所以当时,单调递减,A错误;对于B,因为,所以数列为递增数列,B正确; 对于C,由A分析可知,当正实数M为前6项的最大项时,就有,所以数列为有界正数列,C正确;对于D,令,则,所以当时,,即在上单调递减,所以,即,由,所以,D错误.故选:BC三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2023·河北唐山·统考三模)设为等比数列的前项和,,,则__________.【答案】/0.875【详解】设等比数列的公比为,由,得,则,由等比数列求和公式可知.故答案为:.14.(江苏省七市2023届高三三模数学试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,a1+a5=3a2,则_____.【答案】/【分析】由,得到与的关系,再利用等差数列的前n项和公式和通项公式求解.【详解】解:,∴,∴, .故答案为:15.(2023·山东聊城·统考一模)记为不大于实数的最大整数,已知数列的通项公式为,则的前2023项的和______.【答案】4962【解析】【分析】根据定义表示出由此计算出;【详解】根据题意知:;故答案为:496216.(2023·辽宁大连·统考三模)定义:对于各项均为整数的数列,如果(=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列具有“性质”;不论数列是否具有“性质”,如果存在数列与不是同一数列,且满足下面两个条件:(1)是的一个排列;(2)数列具有“性质”,则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列:①数列的前项和;②数列:1,2,3,4,5;③数列:1,2,3,4,5,6.具有“性质”的为________;具有“变换性质”的为_________.【答案】①②【详解】解:对于①,当时,, ,2,3,为完全平方数数列具有“性质”;对于②,数列1,2,3,4,5,具有“变换性质”,数列为3,2,1,5,4,具有“性质”,数列具有“变换性质”;对于③,,1都只有与3的和才能构成完全平方数,,2,3,4,5,6,不具有“变换性质”.故答案为:①;②.四、解答题:本大题共6小题,共70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研)记数列的前n项和为,对任意,有.(1)证明:是等差数列;(2)若当且仅当时,取得最大值,求的取值范围.【详解】(1)因为①,则②①-②可得,故为等差数列.(2)若当且仅当时,取得最大值,则有,得则,,故的取值范围为.18.(2023·山东烟台·统考一模)已知等比数列的各项均为正数,其前项和为,且,,成等差数列,.(1)求数列通项公式;(2)设,求数列前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用,,成等差数列以及 求出首项和公比,再利用等比数列的通项公式写出即可;(2)由(1)将数列的通项公式代入中化简,再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列的公比为,因为,,成等差数列,所以,即,解得或,因为各项均为正数,所以,所以,由,得,解得,所以.【小问2详解】由(1)知,,则,所以,两式相减可得,整理可得.19.(南京二模)已知数列的前项和为,,,.(1)求数列的通项公式;(2)求证:. 【详解】(1),则,整理得到,故,故是常数列,故,即,当时,,验证时满足,故(2),故.20.(2023·浙江·校联考二模)设数列的前n项和为,已知.(1)求的通项公式;(2)设且,求数列的前n项和为.【答案】(1)(2),【分析】(1)利用及等比数列的定义求的通项公式;(2)讨论的奇偶性,应用分组求和及等比数列前n项和公式求.【详解】(1)当时,,当时,,所以是首项为1,公比为2的等比数列,则.(2)由题设知:,,当为偶数时,;当为奇数时, ;综上,,.21.(浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题)已知数列是以d为公差的等差数列,为的前n项和.(1)若,求数列的通项公式;(2)若中的部分项组成的数列是以为首项,4为公比的等比数列,且,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由,可得,后由等差数列性质可得公差,即可得通项公式;(2)由题可得,.后由是以d为公差的等差数列,可得数列是以为首项.4为公比的等比数列,可求得数列的通项公式,后由分组求和法可得的前n项和.【详解】(1))因为,所以,所以.所以.则数列的通项公式为.(2)因为数列是以首项为,公比为4等比数列.所以.因为数列是等差数列,所以.化简得.因为,所以,即. 所以.因为,所以数列是以为首项.4为公比的等比数列所以.所以.则数列的前n项和为:.22.(2023·浙江温州·统考三模)图中的数阵满足:每一行从左到右成等差数列,每一列从上到下成等比数列,且公比均为实数.(1)设,求数列的通项公式;(2)设,是否存在实数,使恒成立,若存在,求出的所有值,若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在,.【详解】(1)设,第一行从左到右成等差数列的公差为,则,由,得,即有,于是,又,解得,因此,,所以,即.(2)由(1)知, 当为

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