高考数学专题07 数列专题（数学文化）（原卷版）

专题07数列专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ）．A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸2．（2022秋·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是，则该洞窟的浮雕像的总个数为（    ）A． B． C． D．3．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ）A．5 B．10 C．15 D．304．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有块筒瓦，以下每一层均比上一层多块筒瓦，如果侧面共有层筒瓦且顶部个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（    ）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（    ）图1图2A．91 B．169 C．175 D．1806．（2022·全国·高三专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：已知   是该数列的第100项，则m=（    ）A．98 B．99C．100 D．1017．（2022春·河南南阳·高二校联考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第50层球的个数为（    ）A．1255 B．1265C．1275 D．12858．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（    ）．A．7 B．8 C．9 D．109．（2022春·江苏南通·高二统考期末）“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（    ）A．333 B．335 C．337 D．34110．（2022·全国·高三专题练习）谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数、、、、的和是（    ）A． B． C． D．11．（2022春·四川资阳·高一统考期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传．据此，前五个孩子共分得的棉花斤数为（    ）A．362 B．430 C．495 D．64512．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年13．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所以论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，……则该数列的第8项为（    ）A．99 B．131 C．139 D．14114．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9斗，猪主曰：“我猪食半羊．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（    ）斗．A． B． C．3 D．15．（2021秋·河南商丘·高二校联考期中）《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军由旬到达地方城市.下列说法正确的是（       ）A．前四天共行由旬B．最后三天共行由旬C．从第二天起，每天比前一天多行的路程为由旬D．第三天行了由旬16．（2022·全国·高三专题练习）“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（    ）A．9 B．10 C．11 D．1217．（2021秋·吉林松原·高二长岭县第三中学校考阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，则当时，则使需要的雹程步数为（    ）A．7 B．8 C．9 D．1018．（2022·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（    ）A． B．C． D．19．（2023·全国·高三专题练习）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（    ）A．7 B．8 C．9 D．1020．（2022·海南省直辖县级单位·统考三模）北宋数学家贾宪创制的数字图式（如图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉引用、n维空间中的几何元素与之有巧妙联系、例如，1维最简几何图形线段它有2个0维的端点、1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维的线段，1个2维的三角形区域；……如下表所示.从1维到6维最简几何图形中，所有1维线段数的和是（    ）元素维度几何体维度0123…（线段）21（三角形）331（四面体）4641………………A．56 B．70 C．84 D．2821．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项为：、、、、、、、、、，通项公式为，若把这个数列排成下侧形状，并记表示第行中从左向右第个数，则的值为（    ）A． B．C． D．22．（2022·全国·高三专题练习）在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前n项和不可能为1028的数列是（    ）(参考公式：)A． B．C． D．23．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（    ）A．200 B．210 C．220 D．24224．（2022春·云南红河·高二弥勒市一中校考阶段练习）斐波那契数列（FibonacciSequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（    ）A． B． C． D．25．（2022·高二课时练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ）A．55 B．58 C．60 D．6226．（2022·全国·高三专题练习）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根