2023年数学九年级上册人教版专题03 二次函数的图像与性质（解析版）（人教版）

专题03二次函数的图像与性质比较大小1．已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，∵点都在该抛物线上，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．2．已知二次函数，当时，函数的最小值为，则b的值为（       ）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质结合当时，函数的最小值为进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为，∴二次函数开口向上，对称轴为直线，∴离对称轴越近函数值越小，当时，∵当时，函数的最小值为，∴，解得（舍去）；当时，则，∵当时，函数的最小值为，∴当时，，∴，解得；综上所述，，故选A．【点睛】主要考查了二次函数的最值问题，正确得到离对称轴越近函数值越小是解题的关键3．若点，，在抛物线上，且，则的取值范围是（    ）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线，根据，根据离对称轴越远，函数值越大，可得，进而可得的范围【详解】解：∵抛物线，的对称轴为直线，点，，在抛物线上，且而，，∴，∵，∴或解得：或，  故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．已知、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数关系式可得抛物线的开口方向和对称轴，根据点与对称轴的距离即可求解．【详解】解：二次函数的关系式为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越近，函数值越小，∵，，，∴∴，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，当抛物线开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大．5．二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合二次函数图象和性质进行判断即可．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，又∵当时，随的增大而增大，∴，故选：．【点睛】此题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合思想和性质是解题的关键．图像的平移问题6．二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是（    ）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移2个单位 D．向右平移2个单位，向上平移1个单位【答案】C【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：A、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；B、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；C、平移后的解析式为，当时，，本选项符合题意；D、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.【答案】/【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，写出解析式即可．【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度得故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解是解题的关键．8．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为．【答案】【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．【详解】解：∵向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，函数的表达式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．系数a，b，c与图像的关系9．二次函数的图像如图所示，下列说法：；当时，；若、在函数图像上，当时，；；，其中错误的个数有（   ）个．  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的对称轴判断，由图像判断，根据抛物线的性质判断，根据时，判断，根据已知条件可判断，由此即可求解．【详解】解：根据题意，的图像开口向上，与轴的交点为，，与轴的交点在的负半轴上，∴，对称轴为，，∴由图像可知，抛物线的对称轴是直线，，即，正确；由图像可知，当时，，错误；在对称轴左侧，当时，；在对称轴右侧，当时，，错误；当时，，，正确；，，，即，，正确；故选：．【点睛】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是（填序号）．  【答案】④⑤/⑤④【分析】①由图象的开口方向，与轴的截距，对称轴的正负，即可求解；②由，即可求解；③，，当时，即可求解；④图象与轴有两个交点，即可求解；⑤当时，，即可求解．【详解】解：①由图象得：图象开口向下，，与轴的截距在正半轴上，，，，，故此项错误；②，，故此项错误；③  ，如图，，，当时，，故此项错误；④图象与轴有两个交点，，，故此项正确；⑤由③得，当时，，，故此项正确；故答案：④⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象判断式子的符号，掌握判断方法是解题的关键．11．如图，已知抛物线的顶点坐标是，图像与轴交于点和点，且点在点的左侧，那么线段的长是．（请用含字母的代数式表示）  【答案】/【分析】根据抛物线的顶点坐标是可得对称轴是直线，根据点和点关于直线对称可得，进行计算即可得到线段的长．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴是直线，点和点关于直线对称，设点的坐标为，，，，点在点的左侧，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．其中正确的结论有（填序号）  【答案】③④⑤【分析】由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．【详解】解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，，，，故①错误，不符合题意；②二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下，当时，，，，故②错误，不符合题意；③二次函数的图象与轴的另一个交点在的右边，图象开口方向向下，当时，，，故③正确，符合题意；④由①得：，，由②得：，，，故④正确，符合题意；⑤二次函数的图象的对称轴为直线，当时，取最大值，最大值为，当时，，，故⑤正确，符合题意；综上所述：正确的结论有：③④⑤，故答案为：③④⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．二次函数与其他函数共存问题13．同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ）A．  B．  C．  D．  【答案】D【分析】可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A、由一次函数的图象可得：两个a的符号不一致，故错误；B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，矛盾，故错误；C、由一次函数的图象可得：，由其与y轴的交点可知，矛盾，故错误；D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的顶点，，故正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．14．二次函数的图象不经过第二象限，则a、b、c的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的图象不经过第二象限可画出大致图象，图象开口决定a的符号，与y轴交点决定c的符号，对称轴所在位置决定b的符号．【详解】解：∵二次函数的图象不经过第二象限，则大致图象为下图所示，由图象即可判断出，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数不过第二象限画出大致图象是解题的关键．15．函数和(a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分别根据函数图像确定抛物线、直线的系数，然后看是否一致即可解答．【详解】解：A．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意；B．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意；C．由抛物线可知，由直线可知，故一致，符合题意；D．由抛物线可知，由直线可知，故不一致，不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图像，掌握一次函数和二次函数图像的有关性质是解答本题的关键．17．下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别根据四个选项中一次函数和二次函数的图象判断出a和b的正负，然后通过比较求解即可．【详解】解：A、对于直线，得，，与矛盾，所以A选项错误；B、由抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，所以B选项错误；C、由抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，所以C选项错误；D、由抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，由于，则，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图像和一次函数图像的性质，掌握函数关系式的系数与图像的位置之间的关系是解题的关键．18．无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点，即该定点坐标与的值无关，根据整理后式子中，该项中的，求解定点坐标即可．【详解】原式可化为，无论为任何实数，二次函数的图像一定过的点，即该定点坐标与的值无关，，解得：，此时，图像一定过的点是，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解定点坐标与的值无关，即整理后式子中，该项中的是解题的关键．19．已知点，为抛物线y＝ax2－4ax＋c（a≠0）上两点，且＜，则下列说法正确的是（    ）A．若＋＜4，则y1＜y2 B．若＋＞4，则y1＜y2C．若a（＋－4）＞0，则y1＞y2 D．若a（＋－4）＜0，则y1＞y2【答案】D【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．【详解】解：抛物线对称轴为直线，当时，，则当时，；当时，；当时，，则当时，；当时，；故A、B选项都不正确；若，则与同号，由上可知，故C不正确；若，则与异号，由上可知，故D正确；故选D．【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握当图象开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．20．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，点P在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是(    )  A．B．方程有两个不相等的实数根C．D．点P到直线的最大距离【答案】C【分析】根据图象可知，，再由对称轴可知，可判断①；根据抛物线的顶点可知方程有且只有一个实数根，可判断②；当时函数有最大值，由此可判断③；求出函数的解析式和直线的解析式，当的面积最大值时，P点到的距离最大，过P点作轴交于点G，用同一参数的代数式分别表示点P，G的坐标，表示出，运用二次函数性质，可求得的最大值，当取最大值时，的面积最大，从而求得P点到的距离最大值，由此判断④．【详解】解：由图象可知开口向下，∴，∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴，∵对称轴为直线，∴，∴，故A不符合题意；∵抛物线的顶点坐标是，∴时，方程的解为，∴方程有两个